Eine Kette aufhängen, sie umdrehen

Hänge eine lockere Kette an zwei Nägeln auf. Sie hängt in einer glatten Kurve durch. Weil eine Kette flexibel ist, kann sie nur entlang ihrer eigenen Länge ziehen; sie kann nicht drücken oder sich biegen. Deshalb steht eine hängende Kette unter reiner Zugspannung. Ihre Form ist nicht zufällig: Jedes Kettenglied kommt genau dort zur Ruhe, wo sich der Zug an ihm und das Gewicht darunter ausgleichen. Diese Form heißt Kettenlinie – vom lateinischen Wort catena, „Kette“.

Die Gleichung der Kurve lautet y = a · cosh(x ÷ a), wobei cosh der hyperbolische Kosinus ist und a eine Länge bezeichnet, die davon abhängt, wie stark du an der Kette ziehst (a = H ÷ w, der horizontale Zug geteilt durch die Gewichtskraft pro Meter). Eine straffere Kette hat ein größeres a und eine flachere Kurve. Galileo hielt die Kurve für eine Parabel; in den frühen 1690er-Jahren zeigten Huygens, Leibniz und Johann Bernoulli, dass sie es nicht ist.

Jetzt kommt der clevere Teil. Drehe das Bild auf den Kopf. Jede Kraft kehrt sich um: Wo jedes Kettenglied zuvor gezogen wurde, wird der passende Block nun gedrückt. Der englische Wissenschaftler Robert Hooke brachte diese Idee 1675 in einem berühmten lateinischen Anagramm zum Ausdruck. 1705 erklärte er sie ungefähr so: „Wie die flexible Schnur hängt, so steht der starre Bogen – nur umgedreht.“ Ein Bogen in Form einer umgekehrten Kettenlinie trägt sein eigenes Gewicht unter reiner Druckspannung, ohne dass ein Teil sich biegen oder auseinandergezogen werden möchte. Das ist ideal für Stein, der bei Zugspannung schwach ist.

Der katalanische Architekt Antoni Gaudí setzte diese Idee ganz praktisch um. Er hängte kleine Säckchen mit Bleikugeln an ein Netz aus Schnüren, ließ das Schnurnetz seine eigene Form finden und betrachtete es in einem Spiegel, um die Steinstruktur zu sehen. Sein hängendes Modell für die Kirche der Colònia Güell ist das bekannteste Beispiel. Auch für die Sagrada Família verwendete er hängende Modelle. Der Gateway Arch in St. Louis (1965, 192 m hoch) folgt derselben Idee: Seine Form ist eine abgeflachte gewichtete Kettenlinie, die an der Basis dicker ist als an der Spitze.

Kettenlinie oder Parabel? Beide sind glatte U-Formen und sehen nahe am Boden fast gleich aus. Sie passen zu unterschiedlichen Lasten:

• Die Last ist entlang der Kurve verteilt (die eigene Gewichtskraft einer Kette): Kettenlinie.
• Die Last ist gleichmäßig entlang der Horizontalen verteilt (das Deck einer Hängebrücke, das an vielen gleich langen Hängern hängt): Parabel, y = 4f · x(L − x) ÷ L², wobei f der Durchhang und L die Spannweite ist.

Bei einem kleinen Durchhang unterscheiden sich die beiden nur geringfügig. Deshalb wird das Hauptkabel einer Hängebrücke als Parabel bezeichnet, obwohl die eigene Gewichtskraft des Kabels einen leichten Kettenlinieneffekt verursacht. Bei einem großen Durchhang ist der Unterschied deutlich. Die allgemeine Regel lautet: Die ideale Bogenform folgt den Lasten. Ändern sich die Lasten, ändert sich auch die beste Form.