แขวนโซ่ แล้วพลิกกลับ

แขวนโซ่หย่อนจากตะปูสองตัว โซ่จะหย่อนเป็นเส้นโค้งที่เรียบลื่น เพราะโซ่มีความยืดหยุ่น จึงทำได้เพียง ดึง ไปตามความยาวของตัวเอง ไม่สามารถดันหรืองอได้ ดังนั้น โซ่ที่แขวนอยู่จึงอยู่ในภาวะแรงดึงล้วน รูปร่างของมันไม่ได้เกิดขึ้นแบบสุ่ม แต่ละข้อจะหยุดอยู่ตรงตำแหน่งที่แรงดึงบนข้อนั้นสมดุลกับน้ำหนักด้านล่างพอดี รูปร่างนี้เรียกว่า คาเทนารี มาจากคำละติน catena ที่แปลว่า “โซ่”

สมการของเส้นโค้งคือ y = a · cosh(x ÷ a) โดย cosh คือโคไซน์ไฮเพอร์โบลิก และ a คือความยาวที่ขึ้นอยู่กับว่าเราดึงโซ่ตึงแค่ไหน (a = H ÷ w โดย H คือแรงดึงในแนวระดับ และ w คือน้ำหนักต่อเมตร) โซ่ที่ตึงมากกว่าจะมีค่า a มากกว่าและมีเส้นโค้งแบนกว่า กาลิเลโอคิดว่าเส้นโค้งนี้เป็นพาราโบลา แต่ในช่วงต้นทศวรรษ 1690 ฮอยเกนส์ ไลบ์นิซ และโยฮันน์ แบร์นูลลีแสดงให้เห็นว่าไม่ใช่เช่นนั้น

ทีนี้ก็มาถึงส่วนที่ชาญฉลาด พลิกภาพกลับหัวลง แรงทุกแรงจะกลับทิศ จากจุดที่แต่ละข้อเคยถูกดึง บล็อกที่อยู่ตรงกันก็จะถูกดันแทน นักวิทยาศาสตร์ชาวอังกฤษ Robert Hooke อธิบายแนวคิดนี้ด้วยอักษรสลับภาษาละตินอันโด่งดังในปี 1675 และอธิบายในปี 1705 โดยมีความหมายคร่าว ๆ ว่า “เส้นที่ยืดหยุ่นแขวนอยู่อย่างไร โค้งแข็งก็จะตั้งอยู่เช่นนั้นเมื่อกลับหัว” โค้งที่สร้างตาม คาเทนารีกลับหัว จะรับน้ำหนักของตัวเองด้วย แรงอัดล้วน โดยไม่มีส่วนใดพยายามงอหรือดึงให้แยกออกจากกัน นี่คือรูปแบบในอุดมคติสำหรับหิน เพราะหินรับแรงดึงได้ไม่ดี

สถาปนิกชาวคาตาลัน Antoni Gaudí ใช้แนวคิดนี้ในแบบที่ลงมือทำได้จริง เขาแขวนถุงเล็ก ๆ ที่บรรจุลูกตะกั่วไว้กับโครงข่ายเชือก ปล่อยให้ตาข่ายเชือกจัดรูปร่างของตัวเอง แล้ว มองดูผ่านกระจก เพื่อดูโครงสร้างหิน แบบจำลองแขวนของเขาสำหรับโบสถ์ Colònia Güell เป็นตัวอย่างที่มีชื่อเสียงที่สุด และเขายังใช้การศึกษาแบบแขวนกับ Sagrada Família ด้วย Gateway Arch ในเซนต์หลุยส์ (1965 สูง 192 m) ก็ใช้แนวคิดเดียวกัน รูปร่างของมันเป็นคาเทนารีแบบ ถ่วงน้ำหนัก ที่แบนลง โดยมีฐานหนากว่าส่วนบน

เส้นโซ่แขวนหรือพาราโบลา? ทั้งคู่เป็นรูปตัว U ที่เรียบ และเมื่ออยู่ใกล้ด้านล่างจะดูแทบเหมือนกัน แต่ทั้งคู่เหมาะกับการรับแรงคนละแบบ:

• แรงกระจายไปตามเส้นโค้ง (น้ำหนักของโซ่เอง): เส้นโซ่แขวน
• แรงกระจายสม่ำเสมอตามแนวระดับ (พื้นสะพานแขวนที่ห้อยจากตัวแขวนหลายตัวซึ่งรับแรงเท่ากัน): พาราโบลา, y = 4f · x(L − x) ÷ L² โดย f คือระยะหย่อน และ L คือช่วงพาด

ถ้าระยะหย่อนน้อย ทั้งสองแบบจะแตกต่างกันเพียงเล็กน้อย นี่จึงเป็นเหตุผลที่เรียกสายเคเบิลหลักของสะพานแขวนว่าเป็นพาราโบลา แม้ว่าน้ำหนักของสายเคเบิลเองจะทำให้เกิดผลแบบเส้นโซ่แขวนเล็กน้อยก็ตาม หากระยะหย่อนมาก ความแตกต่างจะชัดเจน หลักทั่วไปคือ รูปทรงโค้งที่เหมาะสมที่สุดจะขึ้นอยู่กับแรงที่กระทำ เมื่อแรงเปลี่ยน รูปทรงที่ดีที่สุดก็เปลี่ยนตามไปด้วย