Appendi una catena, capovolgila

Appendi una catena non tesa tra due chiodi. Si incurva formando una curva regolare. Poiché una catena è flessibile, può solo tirare lungo la propria lunghezza; non può spingere né piegarsi. Quindi una catena appesa è sottoposta esclusivamente a tensione. La sua forma non è casuale: ogni maglia si sistema esattamente nel punto in cui la trazione su di essa bilancia il peso sottostante. Questa forma si chiama catenaria, dal latino catena, «catena».

L’equazione della curva è y = a · cosh(x ÷ a), dove cosh è il coseno iperbolico e a è una lunghezza che dipende da quanto tiri la catena (a = H ÷ w, la trazione orizzontale divisa per il peso per metro). Una catena più tesa ha un valore di a maggiore e una curva più piatta. Galileo pensava che la curva fosse una parabola; nei primi anni 1690 Huygens, Leibniz e Johann Bernoulli dimostrarono che non lo è.

Ed ecco la parte più ingegnosa. Capovolgi il disegno. Ogni forza si inverte: dove ogni anello era tirato, ora il blocco corrispondente viene spinto. Lo scienziato inglese Robert Hooke espresse questa idea in un famoso anagramma latino nel 1675, che nel 1705 spiegò più o meno così: “come pende la retta flessibile, così, ma capovolto, starà l’arco rigido”. Un arco costruito sulla catenaria capovolta sostiene il proprio peso in pura compressione, senza che nessuna parte cerchi di piegarsi o di separarsi. È la condizione ideale per la pietra, che è debole a trazione.

L’architetto catalano Antoni Gaudí usò questa idea in modo molto pratico. Appese piccoli sacchetti pieni di pallini di piombo a una rete di corde, lasciò che la rete trovasse da sola la propria forma e poi la osservò in uno specchio per vedere la struttura in pietra. Il suo modello sospeso per la chiesa della Colònia Güell è l’esempio più famoso, e usò studi con modelli sospesi anche per la Sagrada Família. Il Gateway Arch di St. Louis (1965, alto 192 m) segue la stessa idea: la sua forma è una catenaria pesata appiattita, più spessa alla base che in cima.

Catenaria o parabola? Entrambe sono forme a U lisce e, vicino al fondo, sembrano quasi identiche. Rispondono a carichi diversi:

• Il carico è distribuito lungo la curva (il peso della catena): catenaria.
• Il carico è distribuito uniformemente lungo l'orizzontale (l'impalcato di un ponte sospeso, appeso a molti pendini uguali): parabola, y = 4f · x(L − x) ÷ L², dove f è la freccia e L la luce.

Con una freccia ridotta, le due forme differiscono solo di poco. Ecco perché il cavo principale di un ponte sospeso viene chiamato parabola, anche se il peso del cavo aggiunge un leggero effetto da catenaria. Con una freccia maggiore, la differenza è grande. La regola generale è: la forma ideale dell'arco segue i carichi. Se cambiano i carichi, cambia anche la forma migliore.