Pladsværdi, brøker, udfoldninger og Eulers formel

Pladsværdi: klodser, der bygger et tal

Vores talsystem er bygget op omkring grupper af ti. Forestil dig en lille kube som 1. Ti af dem på række danner en stav, der er 10 værd. Ti stave ved siden af hinanden danner en flade, der er 100 værd. Ti flader stablet oven på hinanden danner en stor kube, der er 1.000 værd.

Når du skal læse en bunke klodser, tæller du hver slags og lægger dem sammen. Tre flader, fem stave og to små kuber giver 300 + 50 + 2 = 352. Et ciffers position fortæller dig, hvilken slags klods det tæller, og derfor er 352 og 523 forskellige tal, selvom de er lavet af de samme cifre.

Byt ti for én

Ti klodser af én størrelse er præcis det samme værd som én klods af den næste størrelse. Derfor kan du bytte ti små kuber for én stav, uden at tallet ændrer sig. Du kan også dele en stav op i ti små kuber igen. Det er faktisk det, du gør, når du fører over og låner i skriftlig addition og subtraktion: Du grupperer om – det er ikke magi.

Brøker er lige store dele

En brøk beskriver en del af en helhed. Nævneren (tallet forneden) fortæller, hvor mange lige store dele helheden er delt i, og tælleren (tallet foroven) tæller de dele, du har. Så 3/8 betyder, at en helhed er delt i otte lige store dele, og at du har tre af dem.

Ordet lige store er vigtigt. En chokoladebar, der er delt i ét stort stykke og to krummer, er ikke delt i tredjedele.

Brøker, der ser forskellige ud, kan være den samme mængde. Del hvert stykke af en pizza, hvor halvdelen er farvet, i to, så får du 2/4 farvet og derefter 4/8 – og der kom ikke mere pizza til. Det er ækvivalente brøker. Når du sammenligner to brøker af den samme helhed, skal du først se på nævnerne: Hvis de er ens, er brøken med den største tæller størst. Hvis de ikke er ens, skal du skrive dem som ækvivalente brøker med den samme nævner.

Flader, kanter og hjørner

Any solid with flat sides gives you three kinds of part to count:

• faces: each flat surface of the solid;
• edges: every straight line where a pair of faces join;
• vertices: the pointed corners, where several edges come together.

Count them on a cube: 8 vertices, 12 edges and 6 faces. A square-based pyramid has 5 faces, 8 edges and 5 vertices.

Now slit a cereal box along a few of its edges and flatten it on the table. The flat pattern you get is called a net. A net is a recipe: fold it along the creases and it closes back into the solid. Looking at a net is a good way to count faces and to see which faces touch.

Hvilke mønstre kan foldes til en kube?

Join six squares edge to edge and you get a hexomino. There are 35 different ones, but only 11 fold into a cube. Flipping or turning a pattern does not count as a new one.

Many of the working nets share a shape. A strip of four squares wraps round the cube as a belt, and the remaining pair of squares become its top and bottom, attached anywhere along the belt on opposite sides.

Why do the rest fail? Two squares land on the same face and a different face is left open. A 2 × 2 block of squares can never work, because only three faces meet at any corner of a cube, never four. A row of five or six squares also fails, since it wraps past the start and overlaps itself. Seeing why a net fails is the real skill, and it trains your spatial reasoning.

Eulers formel: F − E + V = 2

Tæl fladerne (F), kanterne (E) og hjørnepunkterne (V) på et fast legeme med flade flader og uden huller igennem, og udregn derefter F − E + V. Svaret er altid 2.

• En kube giver 6 − 12 + 8 = 2.
• Et trekantet prisme giver 5 − 9 + 6 = 2.
• Et oktaeder giver 8 − 12 + 6 = 2.

Leonhard Euler skrev denne sammenhæng ned i 1750'erne, og det er et af de første resultater inden for topologi, læren om former, hvor man ser bort fra den præcise størrelse og vinkel. Det overraskende er, at svaret ikke afhænger af, hvordan det faste legeme er bygget. Gør det fladere eller stræk det, så forbliver optællingerne de samme.

Huller ændrer reglen. En rammeform med et hul igennem giver en anden sum, hvilket er et tegn på, at 2 afspejler overfladens overordnede form og ikke detaljerne.

Almindelige fejl, du skal undgå

• At læse cifre i stedet for deres pladser. 2-tallet i 207 er 200 værd, ikke 2.
• At sammenligne brøker kun ud fra tælleren. 1/8 er mindre end 1/4, selvom begge har 1 som tæller.
• At tælle skjulte kanter to gange. Hver kant deles af to flader, så tæl den én gang.
• At tro, at seks vilkårlige kvadrater kan danne en kubeudfoldning. Kun 11 af de 35 mønstre kan.

Sådan undersøger du det i laboratoriet

The Shape Lab turns these ideas into things you can fold, count and build. Its free first world starts with numbers:

1. Build and read numbers in Ones, tens and hundreds.
2. Regroup blocks in Trade ten for one.
3. Cut a whole into equal parts in Fractions are fair shares.
4. Compare fractions in Same amount, different names.

With PRO, the next worlds count the faces, edges and vertices of solids, fold the 11 nets of a cube and test Euler's formula yourself.

The lab is a simplified teaching model with ideal solids, so use it to build intuition and then try the same counts on real boxes at home.