ค่าประจำหลัก เศษส่วน แบบคลี่ และสูตรของออยเลอร์

ค่าประจำหลัก: บล็อกที่ประกอบกันเป็นจำนวน

ระบบจำนวนของเราสร้างขึ้นจากกลุ่มละสิบ ลองนึกภาพลูกบาศก์เล็ก ๆ หนึ่งลูกแทน 1 ลูกบาศก์เล็ก ๆ สิบลูกเรียงกันเป็น แท่ง มีค่าเท่ากับ 10 แท่งสิบแท่งวางติดกันเป็น แผ่น มีค่าเท่ากับ 100 แผ่นสิบแผ่นวางซ้อนกันเป็นลูกบาศก์ขนาดใหญ่ มีค่าเท่ากับ 1,000

เมื่อต้องการอ่านกองบล็อก ให้ดูว่ามีบล็อกแต่ละชนิดกี่ชิ้นแล้วนำมาบวกกัน แผ่นสามแผ่น แท่งห้าแท่ง และลูกบาศก์เล็กสองลูก รวมเป็น 300 + 50 + 2 = 352 ตำแหน่งของตัวเลขบอกว่าตัวเลขนั้นนับบล็อกชนิดใด นี่จึงเป็นเหตุผลว่าทำไม 352 และ 523 จึงเป็นจำนวนที่แตกต่างกัน แม้จะประกอบด้วยตัวเลขชุดเดียวกัน

แลกสิบเป็นหนึ่ง

บล็อกสิบชิ้นที่มีขนาดเท่ากันมีค่าเท่ากับบล็อกหนึ่งชิ้นที่มีขนาดถัดไป ดังนั้นคุณจึงสามารถ แลก ลูกบาศก์เล็กสิบลูกเป็นแท่งหนึ่งแท่งได้ โดยจำนวนไม่เปลี่ยนแปลง และคุณยังสามารถแยกแท่งกลับเป็นลูกบาศก์เล็กสิบลูกได้ด้วย นี่คือสิ่งที่คุณทำจริง ๆ เมื่อตั้งทดและยืมในการบวกและการลบแบบเขียน นั่นคือการจัดกลุ่มใหม่ ไม่ใช่เวทมนตร์

เศษส่วนคือส่วนแบ่งที่ยุติธรรม

เศษส่วนใช้อธิบายส่วนแบ่งของหนึ่งทั้งก้อน ตัวส่วน (ตัวเลขด้านล่าง) บอกจำนวนชิ้น เท่ากัน ที่แบ่งทั้งก้อนออกมา และตัวเศษ (ตัวเลขด้านบน) บอกจำนวนชิ้นที่คุณมี ดังนั้น 3/8 หมายถึงการแบ่งทั้งก้อนออกเป็นแปดชิ้นเท่า ๆ กัน และมีอยู่สามชิ้น

คำว่า เท่ากัน มีความสำคัญ ช็อกโกแลตแท่งที่ถูกแบ่งเป็นชิ้นใหญ่หนึ่งชิ้นกับเศษเล็ก ๆ สองชิ้น ไม่ได้ถูกแบ่งออกเป็นสามส่วนเท่า ๆ กัน

เศษส่วนที่ดูแตกต่างกันอาจมีปริมาณเท่ากันได้ ลองตัดพิซซ่าครึ่งหนึ่งที่มีสีอยู่ทุกชิ้นออกเป็นสองส่วน คุณจะได้พิซซ่าสี 2/4 ส่วน แล้วก็ 4/8 ส่วน โดยไม่มีใครเติมพิซซ่าเพิ่ม เศษส่วนเหล่านี้เรียกว่า เศษส่วนที่เท่ากัน เมื่อต้องการเปรียบเทียบเศษส่วนสองจำนวนของทั้งก้อนเดียวกัน ให้ดูตัวส่วนก่อน หากตัวส่วนเหมือนกัน ตัวเศษที่มากกว่าจะมีค่ามากกว่า หากไม่เหมือนกัน ให้เขียนใหม่เป็นเศษส่วนที่เท่ากันและมีตัวส่วนเดียวกัน

ด้าน หน้า และจุดยอด

Any solid with flat sides gives you three kinds of part to count:

• faces: each flat surface of the solid;
• edges: every straight line where a pair of faces join;
• vertices: the pointed corners, where several edges come together.

Count them on a cube: 8 vertices, 12 edges and 6 faces. A square-based pyramid has 5 faces, 8 edges and 5 vertices.

Now slit a cereal box along a few of its edges and flatten it on the table. The flat pattern you get is called a net. A net is a recipe: fold it along the creases and it closes back into the solid. Looking at a net is a good way to count faces and to see which faces touch.

รูปแบบใดพับเป็นลูกบาศก์ได้

Join six squares edge to edge and you get a hexomino. There are 35 different ones, but only 11 fold into a cube. Flipping or turning a pattern does not count as a new one.

Many of the working nets share a shape. A strip of four squares wraps round the cube as a belt, and the remaining pair of squares become its top and bottom, attached anywhere along the belt on opposite sides.

Why do the rest fail? Two squares land on the same face and a different face is left open. A 2 × 2 block of squares can never work, because only three faces meet at any corner of a cube, never four. A row of five or six squares also fails, since it wraps past the start and overlaps itself. Seeing why a net fails is the real skill, and it trains your spatial reasoning.

สูตรของออยเลอร์: F − E + V = 2

นับจำนวนหน้า (F) ขอบ (E) และจุดยอด (V) ของรูปทรงตันที่มีหน้าแบนและไม่มีรูทะลุ จากนั้นคำนวณ F − E + V คำตอบจะเป็น 2 เสมอ

• ลูกบาศก์ให้ค่า 6 − 12 + 8 = 2
• ปริซึมสามเหลี่ยมให้ค่า 5 − 9 + 6 = 2
• รูปทรงแปดหน้าให้ค่า 8 − 12 + 6 = 2

Leonhard Euler เขียนความสัมพันธ์นี้ไว้ในช่วงทศวรรษ 1750 และนี่เป็นหนึ่งในผลลัพธ์แรก ๆ ของทอพอโลยี ซึ่งเป็นการศึกษารูปร่างโดยไม่สนใจขนาดและมุมที่แน่นอน สิ่งที่น่าประหลาดใจก็คือคำตอบไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่ารูปทรงตันนั้นถูกสร้างขึ้นอย่างไร บีบหรือยืดมัน แล้วจำนวนต่าง ๆ ก็ยังคงเท่าเดิม

รูจะทำให้กฎนี้เปลี่ยนไป รูปทรงที่เหมือนกรอบรูปและมีรูทะลุจะให้ผลรวมที่แตกต่างออกไป ซึ่งเป็นเบาะแสว่าเลข 2 สะท้อนรูปร่างโดยรวมของพื้นผิว ไม่ใช่รายละเอียดปลีกย่อย

ข้อผิดพลาดที่ควรหลีกเลี่ยง

• อ่านตัวเลขแทนที่จะดูตำแหน่ง. เลข 2 ใน 207 มีค่าเท่ากับ 200 ไม่ใช่ 2
• เปรียบเทียบเศษส่วนโดยดูแค่ตัวเศษ. 1/8 มีค่าน้อยกว่า 1/4 แม้ว่าทั้งคู่จะมีตัวเศษเป็น 1
• นับขอบที่ซ่อนอยู่ซ้ำสองครั้ง. ขอบแต่ละขอบใช้ร่วมกันโดยสองหน้า จึงนับเพียงครั้งเดียว
• คิดว่าสี่เหลี่ยมจัตุรัสหกชิ้นแบบใดก็ทำเป็นแบบคลี่ของลูกบาศก์ได้. มีเพียง 11 รูปแบบจากทั้งหมด 35 รูปแบบเท่านั้นที่ทำได้

วิธีสำรวจเรื่องนี้ในห้องทดลอง

The Shape Lab turns these ideas into things you can fold, count and build. Its free first world starts with numbers:

1. Build and read numbers in Ones, tens and hundreds.
2. Regroup blocks in Trade ten for one.
3. Cut a whole into equal parts in Fractions are fair shares.
4. Compare fractions in Same amount, different names.

With PRO, the next worlds count the faces, edges and vertices of solids, fold the 11 nets of a cube and test Euler's formula yourself.

The lab is a simplified teaching model with ideal solids, so use it to build intuition and then try the same counts on real boxes at home.