位取り、分数、展開図、オイラーの公式

位取り：数を構成するブロック

私たちの数の仕組みは、10個のまとまりをもとにできています。小さな立方体1個を1と考えてみましょう。10個を横一列に並べると、10の価値を持つ棒になります。棒を10本並べると、100の価値を持つ平板になります。平板を10枚積み重ねると、1,000の価値を持つ大きな立方体になります。

ブロックの山を読むには、それぞれの種類を数えて加法をします。平板3枚、棒5本、小さな立方体2個なら、300 + 50 + 2 = 352です。数字の位置によって、どの種類のブロックを数えているかが決まります。だから、同じ数字を使っていても352と523は違う数なのです。

10個を1個に交換する

同じ大きさのブロック10個は、次に大きいサイズのブロック1個とまったく同じ価値です。だから、小さな立方体10個を棒1本と交換しても、数は変わりません。棒1本を小さな立方体10個に戻すこともできます。筆算の加法や減法で繰り上げや繰り下げをするときに、本当にしているのはこれです。魔法ではなく、まとまりを組み替えているのです。

分数とは、等しい割合に分けたもの。

分数は、1つの全体に対する分け前を表します。分母（下の数字）は、全体を何個の等しい部分に分けたかを示し、分子（上の数字）は、そのうちいくつ持っているかを数えます。つまり、3/8は、全体を8個の等しい部分に分け、そのうち3個を持っているという意味です。

「等しい」という言葉が大切です。チョコレートバーを、ものすごく大きな1個と小さなくず2個に分けても、3等分したことにはなりません。

見た目が違う分数でも、同じ量を表すことがあります。半分に色をぬったピザの各スライスを2つに切ると、色のついた部分は2/4、さらに4/8になりますが、ピザが増えたわけではありません。これらは等価な分数です。同じ全体の2つの分数を比べるときは、まず分母を確認します。分母が同じなら、分子が大きいほうが大きく、分母が違うなら、分母が同じになるように等価な分数に直します。

面、辺、および頂点

Any solid with flat sides gives you three kinds of part to count:

• faces: each flat surface of the solid;
• edges: every straight line where a pair of faces join;
• vertices: the pointed corners, where several edges come together.

Count them on a cube: 8 vertices, 12 edges and 6 faces. A square-based pyramid has 5 faces, 8 edges and 5 vertices.

Now slit a cereal box along a few of its edges and flatten it on the table. The flat pattern you get is called a net. A net is a recipe: fold it along the creases and it closes back into the solid. Looking at a net is a good way to count faces and to see which faces touch.

どの展開図を折りたたむと立方体になりますか？

Join six squares edge to edge and you get a hexomino. There are 35 different ones, but only 11 fold into a cube. Flipping or turning a pattern does not count as a new one.

Many of the working nets share a shape. A strip of four squares wraps round the cube as a belt, and the remaining pair of squares become its top and bottom, attached anywhere along the belt on opposite sides.

Why do the rest fail? Two squares land on the same face and a different face is left open. A 2 × 2 block of squares can never work, because only three faces meet at any corner of a cube, never four. A row of five or six squares also fails, since it wraps past the start and overlaps itself. Seeing why a net fails is the real skill, and it trains your spatial reasoning.

オイラーの公式：F − E + V = 2

平らな面があり、穴が中を通っていない立体の面（F）、辺（E）、頂点（V）を数え、F − E + Vを計算してみよう。答えはいつも2になる。

• 立方体では 6 − 12 + 8 = 2。
• 三角柱では 5 − 9 + 6 = 2。
• 正八面体では 8 − 12 + 6 = 2。

レオンハルト・オイラーは1750年代にこの関係を書き残した。これは、正確な大きさや角度を無視して形を研究するトポロジーの、最初期の成果の一つだ。おもしろいのは、その立体がどのように作られているかに関係なく、答えが変わらないことだ。押しつぶしたり、引き伸ばしたりしても、数は同じままになる。

穴があると、このルールは変わる。穴が中を通っている額縁のような形では、合計が別の値になる。これは、2という数が細かい部分ではなく、表面全体の形を表していることの手がかりだ。

避けるべき一般的な間違い

• 位置ではなく、数字そのものを読んでしまう。 207の2の価値は2ではなく、200。
• 分数を分子だけで比べてしまう。 1/8は1/4より小さい。どちらも1があるのにね。
• 見えない辺を2回数えてしまう。 1本の辺は2つの面で共有されているので、1回だけ数える。
• 6つの正方形ならどんな組み合わせでも立方体の展開図になると思ってしまう。 35パターンのうち、そうなるのは11パターンだけ。

実験室でこれをどのように探求するか

The Shape Lab turns these ideas into things you can fold, count and build. Its free first world starts with numbers:

1. Build and read numbers in Ones, tens and hundreds.
2. Regroup blocks in Trade ten for one.
3. Cut a whole into equal parts in Fractions are fair shares.
4. Compare fractions in Same amount, different names.

With PRO, the next worlds count the faces, edges and vertices of solids, fold the 11 nets of a cube and test Euler's formula yourself.

The lab is a simplified teaching model with ideal solids, so use it to build intuition and then try the same counts on real boxes at home.