Stellenwert, Brüche, Netze und Eulersche Formel

Stellenwert: Blöcke, aus denen eine Zahl aufgebaut wird

Unser Zahlensystem basiert auf Zehnergruppen. Stell dir einen kleinen Würfel als 1 vor. Zehn davon in einer Reihe ergeben eine Stange mit dem Wert 10. Zehn Stangen nebeneinander ergeben eine Platte mit dem Wert 100. Zehn gestapelte Platten ergeben einen großen Würfel mit dem Wert 1.000.

Um einen Stapel aus Blöcken zu lesen, zählst du jede Art und addierst. Drei Platten, fünf Stangen und zwei kleine Würfel ergeben 300 + 50 + 2 = 352. Die Position einer Ziffer zeigt dir, welche Art von Block sie zählt. Deshalb sind 352 und 523 verschiedene Zahlen, obwohl sie aus denselben Ziffern bestehen.

Zehn gegen einen tauschen

Zehn Blöcke einer Größe sind genau so viel wert wie ein Block der nächstgrößeren Größe. Du kannst also zehn kleine Würfel gegen eine Stange tauschen, ohne dass sich die Zahl ändert. Du kannst eine Stange auch wieder in zehn kleine Würfel zerlegen. Genau das machst du beim schriftlichen Addieren und Subtrahieren, wenn du einen Übertrag bildest oder entleihst: Du gruppierst neu – es ist keine Zauberei.

Brüche teilen gerecht auf

Ein Bruch beschreibt einen Anteil von einem Ganzen. Sein Nenner (die untere Zahl) gibt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze geteilt wurde, und sein Zähler (die obere Zahl) zählt, wie viele Teile du hast. 3/8 bedeutet also, dass ein Ganzes in acht gleich große Teile geteilt wurde und du drei davon hast.

Das Wort gleich ist wichtig. Wenn ein Schokoriegel in ein riesiges Stück und zwei Krümel geteilt wird, wurde er nicht in Drittel geteilt.

Brüche, die unterschiedlich aussehen, können dieselbe Menge darstellen. Teile jedes Stück einer halb eingefärbten Pizza in zwei Teile. Dann sind 2/4 eingefärbt, danach 4/8 – und niemand hat Pizza hinzugefügt. Das sind gleichwertige Brüche. Um zwei Brüche desselben Ganzen zu vergleichen, sieh zuerst auf die Nenner: Sind sie gleich, ist der Bruch mit dem größeren Zähler größer. Sind sie nicht gleich, schreib sie als gleichwertige Brüche mit demselben Nenner.

Flächen, Kanten und Ecken

Any solid with flat sides gives you three kinds of part to count:

• faces: each flat surface of the solid;
• edges: every straight line where a pair of faces join;
• vertices: the pointed corners, where several edges come together.

Count them on a cube: 8 vertices, 12 edges and 6 faces. A square-based pyramid has 5 faces, 8 edges and 5 vertices.

Now slit a cereal box along a few of its edges and flatten it on the table. The flat pattern you get is called a net. A net is a recipe: fold it along the creases and it closes back into the solid. Looking at a net is a good way to count faces and to see which faces touch.

Welche Muster lassen sich zu einem Würfel falten?

Join six squares edge to edge and you get a hexomino. There are 35 different ones, but only 11 fold into a cube. Flipping or turning a pattern does not count as a new one.

Many of the working nets share a shape. A strip of four squares wraps round the cube as a belt, and the remaining pair of squares become its top and bottom, attached anywhere along the belt on opposite sides.

Why do the rest fail? Two squares land on the same face and a different face is left open. A 2 × 2 block of squares can never work, because only three faces meet at any corner of a cube, never four. A row of five or six squares also fails, since it wraps past the start and overlaps itself. Seeing why a net fails is the real skill, and it trains your spatial reasoning.

Eulersche Formel: F − E + V = 2

Zähle die Flächen (F), Kanten (E) und Eckpunkte (V) eines Körpers mit ebenen Flächen und ohne Löcher hindurch. Berechne dann F − E + V. Das Ergebnis ist immer 2.

• Ein Würfel ergibt 6 − 12 + 8 = 2.
• Ein dreieckiges Prisma ergibt 5 − 9 + 6 = 2.
• Ein Oktaeder ergibt 8 − 12 + 6 = 2.

Leonhard Euler schrieb diese Beziehung in den 1750er-Jahren auf. Sie gehört zu den ersten Ergebnissen der Topologie – der Untersuchung von Formen, bei der genaue Größe und Winkel keine Rolle spielen. Das Überraschende ist, dass das Ergebnis nicht davon abhängt, wie der Körper aufgebaut ist. Verformst oder streckst du ihn, bleiben die Anzahlen gleich.

Löcher verändern die Regel. Eine Form wie ein Bilderrahmen mit einem Loch hindurch ergibt eine andere Summe. Das ist ein Hinweis darauf, dass die 2 die Gesamtform der Oberfläche widerspiegelt, nicht ihre Einzelheiten.

Häufige Fehler, die man vermeiden sollte.

• Ziffern statt Stellen lesen. Die 2 in 207 ist 200 wert, nicht 2.
• Brüche nur anhand ihrer Zähler vergleichen. 1/8 ist kleiner als 1/4, obwohl beide die 1 als Zähler haben.
• Verborgene Kanten doppelt zählen. Jede Kante gehört zu zwei Flächen, also zählst du sie nur einmal.
• Annehmen, dass sechs Quadrate irgendein Würfelnetz bilden. Nur 11 der 35 Muster tun das.

Wie man dies im Labor untersuchen kann.

The Shape Lab turns these ideas into things you can fold, count and build. Its free first world starts with numbers:

1. Build and read numbers in Ones, tens and hundreds.
2. Regroup blocks in Trade ten for one.
3. Cut a whole into equal parts in Fractions are fair shares.
4. Compare fractions in Same amount, different names.

With PRO, the next worlds count the faces, edges and vertices of solids, fold the 11 nets of a cube and test Euler's formula yourself.

The lab is a simplified teaching model with ideal solids, so use it to build intuition and then try the same counts on real boxes at home.