Basamak Değeri, Kesirler, Ağlar ve Euler Formülü

Basamak değeri: bir sayıyı oluşturmak için kullanılan bloklar.

Sayı sistemimiz onlu gruplar üzerine kuruludur. Küçük bir küpü 1 olarak düşünün. Yan yana duran on tanesi, değeri 10 olan bir çubuk oluşturur. Yan yana duran on çubuk, değeri 100 olan bir düz parça oluşturur. Üst üste konan on düz parça ise değeri 1.000 olan büyük bir küp oluşturur.

Bir blok yığınını okumak için her türü sayın ve toplayın. Üç düz parça, beş çubuk ve iki küçük küp; 300 + 50 + 2 = 352 eder. Bir basamağın konumu, hangi tür blokları saydığını gösterir. Bu yüzden 352 ve 523, aynı rakamlardan oluşan farklı sayılardır.

Onu bire dönüştürme

Bir boyuttaki on blok, bir üst boyuttaki tam olarak bir bloğa eşittir. Bu nedenle on küçük küpü bir çubukla değiştirebilir ve sayıyı değiştirmemiş olursunuz. Bir çubuğu tekrar on küçük küpe de ayırabilirsiniz. Yazılı toplama ve çıkarmada elde yaparken ve onluk bozarken aslında yaptığınız şey budur: sihir değil, yeniden gruplamadır.

Kesirler adil payları gösterir

Bir kesir, bir bütünün payını gösterir. Payda (alttaki sayı), bütünün kaç eşit parçaya bölündüğünü; pay (üstteki sayı) ise elinizdeki parçaların kaç tane olduğunu belirtir. Yani 3/8, bir bütünü sekiz eşit parçaya bölmek ve bu parçalardan üçünü almak demektir.

Eşit kelimesi önemlidir. Bir çikolata, bir büyük parça ve iki kırıntıya ayrılmışsa üçte birlik parçalara bölünmüş olmaz.

Farklı görünen kesirler aynı miktarı gösterebilir. Yarısı renklendirilmiş bir pizzadaki her dilimi ikiye bölerseniz, renklendirilmiş kısım önce 2/4, sonra 4/8 olur; ama pizzaya hiç ekleme yapılmaz. Bunlar denk kesirlerdir. Aynı bütünün iki kesrini karşılaştırmak için önce paydaları kontrol edin: paydalar aynıysa payı daha büyük olan kesir daha büyüktür; aynı değilse kesirleri aynı paydalı denk kesirler olarak yeniden yazın.

Yüzler, kenarlar ve köşeler

Any solid with flat sides gives you three kinds of part to count:

• faces: each flat surface of the solid;
• edges: every straight line where a pair of faces join;
• vertices: the pointed corners, where several edges come together.

Count them on a cube: 8 vertices, 12 edges and 6 faces. A square-based pyramid has 5 faces, 8 edges and 5 vertices.

Now slit a cereal box along a few of its edges and flatten it on the table. The flat pattern you get is called a net. A net is a recipe: fold it along the creases and it closes back into the solid. Looking at a net is a good way to count faces and to see which faces touch.

Hangi örüntüler küpe katlanır?

Join six squares edge to edge and you get a hexomino. There are 35 different ones, but only 11 fold into a cube. Flipping or turning a pattern does not count as a new one.

Many of the working nets share a shape. A strip of four squares wraps round the cube as a belt, and the remaining pair of squares become its top and bottom, attached anywhere along the belt on opposite sides.

Why do the rest fail? Two squares land on the same face and a different face is left open. A 2 × 2 block of squares can never work, because only three faces meet at any corner of a cube, never four. A row of five or six squares also fails, since it wraps past the start and overlaps itself. Seeing why a net fails is the real skill, and it trains your spatial reasoning.

Euler formülü: F − E + V = 2

Düz yüzleri olan ve içinden geçen delik bulunmayan bir cismin yüzlerini (F), kenarlarını (E) ve köşelerini (V) say, sonra F − E + V işlemini yap. Cevap her zaman 2 olur.

• Bir küp için 6 − 12 + 8 = 2.
• Üçgen prizma için 5 − 9 + 6 = 2.
• Bir oktahedron için 8 − 12 + 6 = 2.

Leonhard Euler bu ilişkiyi 1750'lerde yazıya döktü. Bu, tam boyutu ve açıyı göz ardı ederek şekli inceleyen topolojideki ilk sonuçlardan biridir. Şaşırtıcı olan, cevabın cismin nasıl oluşturulduğuna bağlı olmamasıdır. Cismi ezsen veya gerip uzatsan bile sayılar aynı kalır.

Delikler kuralı değiştirir. İçinden delik geçen bir resim çerçevesi şekli farklı bir toplam verir. Bu da 2'nin ayrıntıları değil, yüzeyin genel şeklini yansıttığına dair bir ipucudur.

Kaçınılması gereken yaygın hatalar

• Konumlar yerine rakamları okumak. 207 sayısındaki 2'nin değeri 2 değil, 200'dür.
• Kesirleri yalnızca paylarına göre karşılaştırmak. İkisinin de payı 1 olsa bile 1/8, 1/4'ten küçüktür.
• Gizli kenarları iki kez saymak. Her kenar iki yüz tarafından paylaşılır, bu yüzden onu bir kez say.
• Her altı karenin bir küp ağı oluşturduğunu varsaymak. 35 örüntüden yalnızca 11'i bunu yapar.

Bunu laboratuvarda nasıl inceleyebilirsiniz?

The Shape Lab turns these ideas into things you can fold, count and build. Its free first world starts with numbers:

1. Build and read numbers in Ones, tens and hundreds.
2. Regroup blocks in Trade ten for one.
3. Cut a whole into equal parts in Fractions are fair shares.
4. Compare fractions in Same amount, different names.

With PRO, the next worlds count the faces, edges and vertices of solids, fold the 11 nets of a cube and test Euler's formula yourself.

The lab is a simplified teaching model with ideal solids, so use it to build intuition and then try the same counts on real boxes at home.