Nilai Tempat, Pecahan, Jaring, dan Rumus Euler

Nilai tempat: balok-balok yang membentuk sebuah bilangan.

Sistem bilangan kita dibangun dari kelompok-kelompok sepuluh. Bayangkan sebuah kubus kecil sebagai 1. Sepuluh kubus kecil berjajar membentuk batang bernilai 10. Sepuluh batang berdampingan membentuk lempeng bernilai 100. Sepuluh lempeng ditumpuk membentuk kubus besar bernilai 1.000.

Untuk membaca tumpukan balok, hitung setiap jenisnya lalu jumlahkan. Tiga lempeng, lima batang, dan dua kubus kecil menghasilkan 300 + 50 + 2 = 352. Posisi sebuah digit memberi tahu jenis balok yang dihitungnya. Itulah sebabnya 352 dan 523 adalah bilangan yang berbeda meskipun dibuat dari digit yang sama.

Menukar sepuluh menjadi satu

Sepuluh balok dengan ukuran yang sama bernilai tepat satu balok dengan ukuran berikutnya. Jadi, kamu bisa menukar sepuluh kubus kecil dengan satu batang, dan bilangannya tidak berubah. Kamu juga bisa memecah satu batang kembali menjadi sepuluh kubus kecil. Inilah yang sebenarnya kamu lakukan saat menyimpan dan meminjam dalam penjumlahan dan pengurangan tertulis: mengelompokkan ulang, bukan sihir.

Pecahan adalah bagian yang sama.

Sebuah pecahan menunjukkan bagian dari satu kesatuan. Penyebutnya (angka di bawah) menyebutkan jumlah potongan sama besar yang membagi satu kesatuan, sedangkan pembilangnya (angka di atas) menghitung potongan yang kamu miliki. Jadi, 3/8 berarti membagi satu kesatuan menjadi delapan potongan sama besar dan memiliki tiga potongan.

Kata sama besar itu penting. Sebatang cokelat yang dipecah menjadi satu potongan besar dan dua remah tidak dibagi menjadi tiga bagian.

Pecahan yang terlihat berbeda bisa saja memiliki jumlah yang sama. Potong setiap irisan pizza yang setengahnya diberi warna menjadi dua, dan kamu mendapatkan 2/4 bagian berwarna, lalu 4/8—padahal tidak ada pizza yang ditambahkan. Ini disebut pecahan senilai. Untuk membandingkan dua pecahan dari satu kesatuan yang sama, periksa bagian bawahnya terlebih dahulu: jika sama, angka atas yang lebih besar menunjukkan pecahan yang lebih besar; jika tidak sama, ubah pecahan tersebut menjadi pecahan senilai dengan bagian bawah yang sama.

Sisi, rusuk, dan titik sudut

Any solid with flat sides gives you three kinds of part to count:

• faces: each flat surface of the solid;
• edges: every straight line where a pair of faces join;
• vertices: the pointed corners, where several edges come together.

Count them on a cube: 8 vertices, 12 edges and 6 faces. A square-based pyramid has 5 faces, 8 edges and 5 vertices.

Now slit a cereal box along a few of its edges and flatten it on the table. The flat pattern you get is called a net. A net is a recipe: fold it along the creases and it closes back into the solid. Looking at a net is a good way to count faces and to see which faces touch.

Pola mana yang dapat dilipat menjadi sebuah kubus?

Join six squares edge to edge and you get a hexomino. There are 35 different ones, but only 11 fold into a cube. Flipping or turning a pattern does not count as a new one.

Many of the working nets share a shape. A strip of four squares wraps round the cube as a belt, and the remaining pair of squares become its top and bottom, attached anywhere along the belt on opposite sides.

Why do the rest fail? Two squares land on the same face and a different face is left open. A 2 × 2 block of squares can never work, because only three faces meet at any corner of a cube, never four. A row of five or six squares also fails, since it wraps past the start and overlaps itself. Seeing why a net fails is the real skill, and it trains your spatial reasoning.

Rumus Euler: F − E + V = 2

Hitung sisi (F), rusuk (E), dan titik sudut (V) suatu benda padat dengan sisi datar dan tanpa lubang menembusnya, lalu hitung F − E + V. Jawabannya selalu 2.

• Kubus menghasilkan 6 − 12 + 8 = 2.
• Prisma segitiga menghasilkan 5 − 9 + 6 = 2.
• Oktahedron menghasilkan 8 − 12 + 6 = 2.

Leonhard Euler menuliskan hubungan ini pada tahun 1750-an, dan ini adalah salah satu hasil pertama dalam topologi, yaitu ilmu yang mempelajari bentuk tanpa memperhatikan ukuran dan sudut yang tepat. Hal yang mengejutkan adalah jawabannya tidak bergantung pada cara benda padat itu dibuat. Kempiskan atau regangkan bentuknya, dan jumlahnya tetap sama.

Lubang mengubah aturan ini. Bentuk seperti bingkai foto dengan lubang menembusnya menghasilkan jumlah yang berbeda, yang menjadi petunjuk bahwa angka 2 mencerminkan bentuk keseluruhan permukaan, bukan detail-detailnya.

Kesalahan umum yang perlu dihindari.

• Membaca angka, bukan posisinya. Angka 2 dalam 207 bernilai 200, bukan 2.
• Membandingkan pecahan hanya dari pembilangnya. 1/8 lebih kecil daripada 1/4, meskipun keduanya memiliki angka 1.
• Menghitung rusuk tersembunyi dua kali. Setiap rusuk digunakan bersama oleh dua sisi, jadi hitunglah sekali saja.
• Menganggap enam persegi apa pun bisa menjadi jaring-jaring kubus. Hanya 11 dari 35 pola yang bisa.

Cara menjelajahi topik ini di laboratorium.

The Shape Lab turns these ideas into things you can fold, count and build. Its free first world starts with numbers:

1. Build and read numbers in Ones, tens and hundreds.
2. Regroup blocks in Trade ten for one.
3. Cut a whole into equal parts in Fractions are fair shares.
4. Compare fractions in Same amount, different names.

With PRO, the next worlds count the faces, edges and vertices of solids, fold the 11 nets of a cube and test Euler's formula yourself.

The lab is a simplified teaching model with ideal solids, so use it to build intuition and then try the same counts on real boxes at home.