Qu'est-ce qu'une limite ? Notions de base du calcul différentiel : de la pente au taux.

Une fonction est une sorte de machine fiable.

Une fonction est une règle qui donne exactement une sortie pour chaque entrée. On entre un nombre x et on obtient un nombre f(x), et une même entrée donne toujours la même sortie. On la représente par un graphique, avec les entrées sur l’axe horizontal et les sorties vers le haut, sur l’axe vertical.

La plupart des graphiques que tu rencontres appartiennent à quelques familles, chacune avec des réglages qui permettent de l’étirer ou de la déplacer :

• les droites, y = ax + b, où a est la pente et b la hauteur à zéro ;
• les paraboles, y = ax² + bx + c, qui ont la forme d’un U ou d’un U renversé ;
• les ondes, comme y = a·sin(bx), où a est la hauteur de l’onde et b contrôle la rapidité de ses répétitions.

Modifie un réglage et toute la courbe se déplace d’une manière prévisible. C’est cette prévisibilité qui rend le calcul infinitésimal possible : si tu connais la règle, tu peux poser des questions précises sur le comportement de la courbe.

Pente : à quel point cette droite est-elle inclinée ?

La pente d’une droite est la montée divisée par le déplacement horizontal. Avance d’un pas vers la droite et regarde de combien la droite monte ou descend. Une pente de 3 monte trois fois plus vite qu’une pente de 1, et une pente négative descend.

Pour une droite, la pente est la même partout, ce qui la rend précisément droite. Une courbe, c’est différent. Une colline est douce en bas, raide sur le côté et plate au sommet : sa pente change donc d’un endroit à l’autre. La grande question du calcul infinitésimal est de savoir comment mesurer la pente en un seul point d’une courbe.

Pour calculer une montée sur un déplacement horizontal, il faut deux points. Un seul point n’a aucun déplacement horizontal. Pour résoudre ce problème, nous avons besoin de l’idée de nous rapprocher de plus en plus sans jamais arriver au point.

Qu'est-ce qu'une limite ?

Une limite demande vers quelle valeur f(x) se rapproche quand x se rapproche de plus en plus d’un nombre a. Le mot important est se rapproche. La fonction n’a pas besoin d’atteindre cette valeur, ni même d’être définie à cet endroit.

Prenons (x² − 4) / (x − 2). Pour x = 2, on obtient 0/0, ce qui n’a pas de sens. Mais pour toute autre valeur de x, on peut factoriser le numérateur en (x − 2)(x + 2) et simplifier, ce qui laisse x + 2. Essaie avec x = 1,9, 1,99, 1,999 : les sorties sont 3,9, 3,99, 3.999. De l’autre côté, 2,1, 2,01, 2,001 donnent 4,1, 4,01, 4.001. Les deux côtés se rapprochent de 4, donc la limite est 4, même si la fonction a un trou en 2.

Limites à gauche et à droite

Tu peux te rapprocher d’un point par la gauche ou par la droite. La limite des deux côtés existe seulement si les deux côtés donnent le même résultat. Si un graphique fait un saut — par exemple, s’il vaut 1 juste à gauche d’un point et 3 juste à droite — alors les limites à gauche et à droite sont différentes, et la limite usuelle n’existe pas à cet endroit.

Continuité : tracer une courbe sans lever le stylo.

Une fonction est continue en un point si elle passe trois vérifications :

1. la fonction a une valeur en ce point ;
2. la limite existe en ce point ;
3. les deux sont égales.

En langage courant, tu peux tracer la courbe en passant par le point sans lever ton crayon. Quand l’une des trois conditions n’est pas remplie, tu obtiens l’un des différents types de rupture : un trou amovible (la limite existe, mais la valeur est absente ou incorrecte), un saut (les limites à gauche et à droite ne sont pas les mêmes) ou une rupture infinie, où le graphique part hors de la page.

Les fonctions définies par morceaux, qui suivent une règle sur un intervalle et une autre règle ailleurs, sont idéales pour t’entraîner. Tout se joue au point de raccord. Vérifie ce que fait chaque morceau lorsqu’il s’approche de ce point, puis demande-toi s’ils se rejoignent.

Du taux moyen au taux instantané.

Choisis deux points sur une courbe et trace la droite qui les relie, appelée une sécante. Sa pente, (f(b) − f(a)) / (b − a), est le taux de variation moyen entre ces deux points : en moyenne, à quelle vitesse la sortie a-t-elle changé sur cet intervalle ? Pour la position d’une voiture au fil du temps, c’est sa vitesse moyenne sur un tronçon de route.

Maintenant, fais glisser le deuxième point vers le premier. Le déplacement diminue, la sécante pivote et, à la limite, elle devient la droite tangente, une droite qui touche simplement la courbe et indique la direction qu’elle prend. Sa pente est le taux de variation instantané : la vitesse indiquée par le compteur à un moment donné, et non la moyenne sur un trajet.

Cette limite des pentes des sécantes porte un nom : la dérivée. C’est la même idée que pour toutes les limites précédentes, appliquée à la pente d’une sécante qui rétrécit.

Erreurs courantes à éviter.

• Penser qu’une limite est la valeur de la fonction. Elles peuvent être différentes et, dans ce cas, la fonction n’est pas continue en ce point.
• Remplacer directement et abandonner face à 0/0. Ce résultat indique qu’il faut simplifier, factoriser ou examiner les valeurs voisines ; ce n’est pas la preuve qu’aucune limite n’existe.
• Interpréter « s’approche » comme « est égal à ». Une limite décrit la tendance, pas l’arrivée.
• Prendre la sécante pour la réponse. Une sécante donne une moyenne. Seul le processus de rétrécissement donne la valeur instantanée.

Comment explorer ce concept en laboratoire.

Le labo de calcul différentiel et de probabilités présente ces idées sous forme de courbes que tu peux déplacer. Voici un bon parcours dans le premier monde gratuit :

1. Commence par Qu’est-ce qu’une fonction ?.
2. Approche-toi d’une valeur dans Qu’est-ce qu’une limite ?.
3. Observe les interruptions et les trous dans La continuité.
4. Mesure une sécante dans Le taux de variation moyen.
5. Regarde-la devenir une tangente dans Le taux de variation instantané.

N’oublie pas que le labo est un modèle pédagogique simplifié : il échantillonne les courbes avec une résolution finie. Il montre donc clairement la tendance, mais ne remplace jamais l’algèbre ni les démonstrations.