Was ist ein Grenzwert? Grundlagen der Infinitesimalrechnung: Von der Steigung zur Rate.

Eine Funktion ist eine zuverlässige Maschine.

Eine Funktion ist eine Regel, die für jeden Eingang genau einen Ausgang liefert. Setze eine Zahl x ein, erhalte eine Zahl f(x), und derselbe Eingang liefert immer denselben Ausgang. Wir stellen sie als Graph mit den Eingängen auf der horizontalen Achse und den Ausgängen auf der vertikalen Achse dar.

Die meisten Graphen, denen du begegnest, gehören zu einigen wenigen Familien. Jede hat Stellschrauben, mit denen sie gestreckt oder verschoben werden kann:

• Geraden, y = ax + b, wobei a die Steigung und b die Höhe bei null ist;
• Parabeln, y = ax² + bx + c, die wie ein U oder ein umgedrehtes U geformt sind;
• Wellen, wie y = a·sin(bx), wobei a die Höhe der Welle angibt und b steuert, wie eng sie sich wiederholt.

Verändere eine Stellschraube, und die ganze Kurve bewegt sich auf vorhersehbare Weise. Diese Vorhersagbarkeit macht die Differential- und Integralrechnung möglich: Wenn du die Regel kennst, kannst du genau fragen, wie sich die Kurve verhält.

Steigung: Wie steil ist diese Gerade?

Die Steigung einer Geraden ist der Anstieg geteilt durch die waagerechte Strecke. Gehe einen Schritt nach rechts und sieh, wie weit die Gerade nach oben oder unten geht. Eine Steigung von 3 steigt dreimal so schnell an wie eine Steigung von 1, und eine negative Steigung verläuft bergab.

Bei einer Geraden ist die Steigung überall gleich – genau das macht sie gerade. Bei einer Kurve ist das anders. Ein Hügel ist unten sanft, an der Seite steil und oben flach. Seine Steilheit verändert sich also von Ort zu Ort. Die große Frage der Differential- und Integralrechnung lautet: Wie misst man die Steilheit an einer einzigen Stelle einer Kurve?

Für den Anstieg durch die waagerechte Strecke braucht man zwei Punkte. Ein einzelner Punkt hat überhaupt keine Strecke. Um dieses Problem zu lösen, brauchen wir die Idee, immer näher zu kommen, ohne anzukommen.

Was ist ein Grenzwert?

Ein Grenzwert fragt, welchem Wert sich f(x) nähert, wenn sich x immer weiter einer bestimmten Zahl a annähert. Das Schlüsselwort ist annähert. Die Funktion muss diesen Wert nicht erreichen und dort nicht einmal definiert sein.

Betrachte (x² − 4) / (x − 2). Für x = 2 erhältst du 0/0, was keine Bedeutung hat. Für jedes andere x kannst du den Zähler in (x − 2)(x + 2) zerlegen und kürzen. Übrig bleibt x + 2. Setze x = 1,9, 1,99, 1,999 ein: Die Ergebnisse sind 3,9, 3,99, 3.999. Von der anderen Seite liefern 2,1, 2,01, 2,001 die Ergebnisse 4,1, 4,01, 4.001. Beide Seiten nähern sich 4, also ist der Grenzwert 4, obwohl die Funktion bei 2 eine Lücke hat.

Einseitige Grenzwerte

Du kannst dich einem Punkt von links oder von rechts nähern. Der zweiseitige Grenzwert existiert nur, wenn beide Seiten übereinstimmen. Wenn ein Graph springt, zum Beispiel direkt links von einem Punkt den Wert 1 und direkt rechts davon den Wert 3 hat, unterscheiden sich der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert. Dann existiert dort kein gewöhnlicher Grenzwert.

Stetigkeit: Zeichnen, ohne den Stift abzusetzen

Eine Funktion ist an einem Punkt kontinuierlich, wenn sie drei Bedingungen erfüllt:

1. Die Funktion hat dort einen Wert.
2. Der Grenzwert existiert dort.
3. Beide sind gleich.

Im Alltag bedeutet das: Du kannst durch den Punkt zeichnen, ohne den Bleistift abzusetzen. Wenn eine der drei Bedingungen nicht erfüllt ist, entsteht eine von mehreren Arten von Unterbrechungen: eine hebbare Lücke (der Grenzwert existiert, aber der Wert fehlt oder ist falsch), ein Sprung (der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert stimmen nicht überein) oder eine unendliche Unterbrechung, bei der der Graph aus dem Bild hinausschießt.

Stückweise definierte Funktionen, die in einem Intervall einer Regel und an anderer Stelle einer anderen Regel folgen, eignen sich besonders gut zum Üben. Entscheidend ist die Stelle, an der die Stücke zusammentreffen. Prüfe, was jedes Stück macht, wenn es sich dieser Stelle nähert, und frage dich, ob sie zusammentreffen.

Von der durchschnittlichen Rate zur momentanen Rate

Wähle zwei Punkte auf einer Kurve und zeichne die Gerade durch sie. Diese Gerade heißt Sekante. Ihre Steigung, (f(b) − f(a)) / (b − a), ist die durchschnittliche Änderungsrate zwischen den beiden Punkten: Wie schnell hat sich der Output im Durchschnitt über dieses Intervall verändert? Bei der Position eines Autos im Zeitverlauf ist das die durchschnittliche Geschwindigkeit über einen Streckenabschnitt.

Schiebe nun den zweiten Punkt auf den ersten zu. Der horizontale Abstand wird kleiner, die Sekante dreht sich und geht im Grenzwert in die Tangente über – eine Gerade, die die Kurve gerade berührt und in ihre Bewegungsrichtung zeigt. Ihre Steigung ist die momentane Änderungsrate: die Geschwindigkeit, die der Tacho in einem Moment anzeigt, nicht der Durchschnitt über eine ganze Fahrt.

Dieser Grenzwert der Sekantensteigungen hat einen Namen: die Ableitung. Es ist dieselbe Idee wie bei jedem Grenzwert weiter oben, angewendet auf die Steigung einer immer kürzer werdenden Sekante.

Häufige Fehler, die du vermeiden solltest

• Denken, ein Grenzwert sei der Wert der Funktion. Beides kann unterschiedlich sein. Dann ist die Funktion dort nicht kontinuierlich.
• Einsetzen und bei 0/0 aufgeben. Dieses Ergebnis ist ein Hinweis darauf, zu vereinfachen, zu faktorisieren oder nahe gelegene Werte anzusehen – kein Beweis dafür, dass kein Grenzwert existiert.
• „Nähert sich“ als „ist gleich“ verstehen. Ein Grenzwert beschreibt den Trend, nicht das Ankommen.
• Die Sekante für die Antwort halten. Eine Sekante liefert einen Durchschnitt. Erst der Prozess des Annäherns liefert den Momentanwert.

So kannst du das im Labor erkunden

Das Labor für Analysis und Wahrscheinlichkeit zeigt diese Ideen als Kurven, die du verschieben kannst. Eine gute Reihenfolge durch die erste kostenlose Welt:

1. Wärm dich mit Was ist eine Funktion? auf.
2. Nähere dich in Was ist ein Grenzwert? einem Wert an.
3. Untersuche Lücken und Sprünge bei Kontinuität.
4. Miss eine Sekante bei Durchschnittliche Änderungsrate.
5. Beobachte, wie sie bei Momentane Änderungsrate zu einer Tangente wird.

Denk daran, dass das Labor ein vereinfachtes Lehrmodell ist: Es tastet Kurven mit endlicher Auflösung ab. Dadurch zeigt es den Trend deutlich, ersetzt aber niemals Algebra oder einen Beweis.