Vecteurs expliqués : somme, produit scalaire, produit vectoriel.

Qu'est-ce qu'un vecteur ?

Un nombre comme 5 indique une quantité. Un vecteur indique une quantité et une direction. Dans l’espace à trois dimensions, on le stocke sous la forme de trois composantes, écrites (x, y, z), qui indiquent de combien avancer le long de chaque axe.

Le vecteur (2, 1, 0) signifie : deux unités le long de x, une le long de y et aucune le long de z. Il n’indique pas où commencer. Déplace la flèche n’importe où dans l’espace : tant que sa longueur et sa direction restent les mêmes, c’est le même vecteur.

Sa longueur (ou norme) se calcule avec le théorème de Pythagore : |v| = √(x² + y² + z²). Cette formule est la base du produit scalaire que nous verrons plus tard.

Addition de vecteurs : méthode « tête à queue »

Pour additionner deux vecteurs, place le début du second à l’extrémité du premier. La somme est la flèche qui va du tout début à l’extrémité finale. Avec les composantes, il suffit d’additionner les parties correspondantes :

a + b = (aₓ + bₓ, a_y + b_y, a_z + b_z)

Imagine que tu marches de 3 pâtés de maisons vers l’est, puis de 4 pâtés de maisons vers le nord. Ton déplacement total est la flèche droite qui va de ton point de départ à ton point d’arrivée. Peu importe que tu aies marché vers l’est ou vers le nord en premier. C’est pourquoi l’addition des vecteurs est commutative.

C’est ainsi que les forces se combinent. Si deux cordes tirent une caisse dans des directions différentes, la caisse réagit à la résultante, c’est-à-dire à la somme des deux tractions. La soustraction fonctionne de la même façon : soustraire b, c’est ajouter la flèche qui pointe dans la direction opposée.

Le produit scalaire : dans quelle mesure deux vecteurs sont-ils alignés ?

Le produit scalaire multiplie les composantes correspondantes et additionne les résultats :

a · b = aₓbₓ + a_yb_y + a_zb_z

Il est également égal à |a||b|cos θ, où θ est l’angle entre les flèches. Cela relie un simple calcul à la géométrie et donne son sens au produit scalaire :

• Positif : les flèches pointent globalement dans la même direction.
• Nul : les flèches sont perpendiculaires (orthogonales).
• Négatif : les flèches pointent globalement dans des directions opposées.

Le cas nul est l’astuce utile. Tu peux vérifier qu’il s’agit d’un angle droit avec de simples calculs, sans rapporteur. Par exemple, (1, 2, 0) · (2, −1, 5) vaut 2 − 2 + 0 = 0, donc ces deux vecteurs forment exactement un angle de 90°. Attention toutefois : un vecteur nul n’a pas de direction, il n’est donc pas considéré comme formant un angle avec quoi que ce soit.

Le produit vectoriel : une flèche qui sort du plan.

Le produit scalaire renvoie un seul nombre. Le produit vectoriel renvoie un nouveau vecteur et n’existe que dans un espace à trois dimensions. Le résultat a × b possède trois propriétés :

• il est perpendiculaire à a et à b ;
• sa longueur est égale à l’aire du parallélogramme engendré par les deux vecteurs ;
• sa direction suit la règle de la main droite : en recourbant les doigts de ta main droite de a vers b, ton pouce pointe dans la direction du résultat.

L’ordre est important ici : b × a = −(a × b), donc inverser les entrées inverse la flèche. Et si a et b sont parallèles, le parallélogramme s’aplatit complètement et le produit vectoriel est le vecteur nul.

Les ingénieurs et les physiciens l’utilisent constamment : le couple, la quantité de mouvement angulaire et la direction de la force magnétique exercée sur une charge en mouvement font tous appel aux produits vectoriels.

Projection : l’ombre d’une flèche

Éclaire la droite qui suit le vecteur b avec une lumière dirigée tout droit vers le bas. L’ombre que le vecteur a projette sur cette droite est la projection de a sur b :

proj_b(a) = ((a · b) / (b · b)) b

Le produit scalaire mesure la part de a qui se trouve dans la direction de b. La division par b · b la redimensionne, et la multiplication par b transforme cette valeur en une flèche le long de b. Le segment qui relie l’extrémité de a à son ombre est perpendiculaire à b, ce qui explique le lien entre projection et angles droits.

Si le produit scalaire est négatif, l’ombre pointe dans la direction opposée à b. La projection permet de décomposer une force en une partie le long d’une rampe et une partie qui pousse contre celle-ci, ou de trouver le point d’une droite le plus proche d’un point donné.

Erreurs courantes à éviter

• Prendre le produit scalaire pour un vecteur. C’est un seul nombre. Le produit vectoriel, lui, est un vecteur.
• Penser que l’ordre n’a jamais d’importance. Ce n’est pas le cas pour les sommes et les produits scalaires, mais c’est le cas pour les produits vectoriels.
• Confondre les résultats nuls. Un produit scalaire nul signifie que les vecteurs sont perpendiculaires ; un produit vectoriel nul signifie qu’ils sont parallèles.
• Oublier qu’un vecteur n’a pas de point de départ fixe. Seuls sa longueur et sa direction le définissent.

Comment explorer cela dans le laboratoire

Le Laboratoire des vecteurs te permet de faire glisser des flèches en 3D et de voir les composantes changer en direct. Le premier monde gratuit suit cet ordre :

1. Construis une résultante dans Pointe à queue.
2. Trouve un angle droit grâce au calcul dans Un angle droit sans rapporteur.
3. Observe le parallélogramme et la règle de la main droite dans Une flèche qui sort d’un plan.
4. Projette une ombre dans L’ombre d’une flèche.

Le laboratoire est un modèle pédagogique simplifié avec des nombres bien choisis ; surveille donc attentivement les signes : ils ont autant de sens que les valeurs.