Limit Nedir? Türevin Temelleri: Eğimden Orana

Fonksiyon güvenilir bir makinedir

Bir fonksiyon, her giriş için tam olarak bir çıkış veren bir kuraldır. İçine x sayısını koyarsın, dışarı f(x) sayısı çıkar ve aynı giriş her zaman aynı çıkışı verir. Bunu, girişlerin yatay eksen boyunca, çıkışların ise düşey eksen boyunca yer aldığı bir grafik olarak çizeriz.

Karşına çıkan grafiklerin çoğu, her birinin grafiği esneten veya kaydıran ayarları bulunan birkaç aileden birine aittir:

• doğrular, y = ax + b; burada a eğim, b ise sıfırdaki yüksekliktir;
• paraboller, y = ax² + bx + c; U veya ters U şeklindedirler;
• dalgalar, y = a·sin(bx) gibi; burada a dalganın yüksekliği, b ise ne kadar sık tekrarlandığını belirler.

Bir ayarı değiştirirsen tüm eğri tahmin edilebilir bir şekilde hareket eder. Kalkülüsü mümkün kılan da bu tahmin edilebilirliktir: Kuralı biliyorsan eğrinin nasıl davrandığı hakkında kesin sorular sorabilirsin.

Eğim: Bu doğru ne kadar dik?

Bir doğrunun eğimi, düşey değişimin yatay değişime bölünmesidir. Bir adım sağa ilerle ve doğrunun ne kadar yükseldiğini veya alçaldığını gör. 3 eğimli bir doğru, 1 eğimli bir doğrunun üç katı hızla yükselir; negatif eğimli bir doğru ise aşağı doğru iner.

Bir doğrunun eğimi her yerde aynıdır; onu doğru yapan da tam olarak budur. Eğri ise farklıdır. Bir tepe, tabanında hafif eğimli, yanında dik ve en üstte düzdür; yani dikliği noktadan noktaya değişir. Kalkülüsün temel sorusu, bir eğrinin tek bir noktasındaki dikliği nasıl ölçeceğimizdir.

Düşey değişimin yatay değişime oranını bulmak için iki nokta gerekir. Tek bir noktada yatay değişim yoktur. Bunun üstesinden gelmek için, bir yere varmadan gittikçe yaklaşma fikrine ihtiyacımız var.

Limit nedir?

Bir limit, x bir a sayısına gittikçe daha çok yaklaşırken f(x)'in hangi değere yaklaştığını sorar. Buradaki anahtar kelime yaklaşır. Fonksiyonun bu değere ulaşması, hatta orada tanımlı olması bile gerekmez.

(x² − 4) / (x − 2) ifadesini ele alalım. x = 2 için 0/0 elde edersin; bunun bir anlamı yoktur. Ancak diğer tüm x değerleri için payı (x − 2)(x + 2) şeklinde çarpanlarına ayırabilir ve sadeleştirerek x + 2 elde edebilirsin. x = 1,9, 1,99, 1,999 değerlerini dene; sonuçlar 3.9, 3,99, 3.999 olur. Diğer taraftan 2,1, 2,01, 2,001 değerleri 4,1, 4,01, 4.001 sonuçlarını verir. Her iki taraf da 4'e yaklaşır. Bu yüzden fonksiyonun 2'de bir deliği olsa bile limit 4'tür.

Tek taraflı limitler

Bir noktaya soldan ya da sağdan yaklaşabilirsin. İki taraflı limit, yalnızca her iki taraf aynı değerde anlaşırsa vardır. Bir grafik sıçrıyorsa, örneğin bir noktanın hemen solunda 1, hemen sağında 3 ise, sol ve sağ limitler farklıdır ve normal limit orada yoktur.

Süreklilik: kalemi kağıttan kaldırmadan çizim yapma.

Bir fonksiyon bir noktada sürekli ise üç koşulu karşılar:

1. fonksiyonun o noktada bir değeri vardır;
2. o noktadaki limit vardır;
3. bu ikisi birbirine eşittir.

Günlük dille, kalemini kaldırmadan o noktadan geçerek çizebilirsin. Bu üç koşuldan biri sağlanmadığında, birkaç farklı kopukluk türünden biri ortaya çıkar: giderilebilir delik (limit vardır ama değer eksiktir veya yanlıştır), sıçrama (sol ve sağ limitler aynı değildir) ya da grafiğin sayfadan dışarı fırladığı sonsuz kopukluk.

Bir aralıkta bir kuralı, başka bir yerde başka bir kuralı izleyen parçalı fonksiyonlar, bunu uygulamak için en iyi yerdir. Bütün önemli kısım birleşme noktasındadır. Her parçanın birleşme noktasına yaklaşırken ne yaptığına bak ve birleşip birleşmediklerini sor.

Ortalama orandan anlık orana

Bir eğri üzerinde iki nokta seç ve bu noktalardan geçen, kesen doğru adı verilen düz bir çizgi çiz. Bu doğrunun eğimi olan (f(b) − f(a)) / (b − a), bu iki nokta arasındaki ortalama değişim oranıdır: Bu aralık boyunca çıktı ortalama olarak ne kadar hızlı değişti?

Bir arabanın zaman içindeki konumu için bu, yolun bir bölümündeki ortalama sürattir.

Şimdi ikinci noktayı birinci noktaya doğru kaydır. Yatay değişim küçülür, kesen doğru döner ve limitte, eğriye yalnızca dokunan ve eğrinin hangi yöne ilerlediğini gösteren teğet doğruya dönüşür. Bu doğrunun eğimi anlık değişim oranıdır: Bir yolculuğun ortalaması değil, tek bir andaki hız göstergesinde görülen sürattir.

Kesen doğruların eğimlerinin bu limitinin bir adı vardır: türev. Yukarıdaki her limitteki fikirle aynıdır; yalnızca küçülen bir kesen doğrunun eğimine uygulanır.

Kaçınılması gereken yaygın hatalar

• Bir limitin fonksiyonun değeri olduğunu düşünmek. Bunlar birbirinden farklı olabilir. Farklı olduklarında fonksiyon orada sürekli değildir.
• Yerine koyup 0/0 sonucunda vazgeçmek. Bu sonuç, limitin var olmadığını kanıtlamaz; sadeleştirme yapman, çarpanlara ayırman veya yakındaki değerlere bakman gerektiğini gösterir.
• “Yaklaşır” ifadesini “eşittir” olarak okumak. Limit, varış noktasını değil, eğilimi açıklar.
• Keseni cevap olarak görmek. Kesen doğru ortalama bir değer verir. Anlık değeri yalnızca küçülme süreci verir.

Bunu laboratuvarda nasıl keşfedebilirsin?

Calculus & Probability laboratuvarı, bu fikirleri hareket ettirebileceğin eğriler olarak gösterir. Ücretsiz ilk dünyada şu sırayı izlemek iyi olur:

1. Fonksiyon nedir? ile ısın.
2. Limit nedir? bölümünde bir değere yaklaş.
3. Süreklilik bölümünde kopmaları ve boşlukları test et.
4. Ortalama değişim oranı bölümünde bir kesen doğruyu ölç.
5. Anlık oran bölümünde bunun teğet doğruya dönüşmesini izle.

Laboratuvarın basitleştirilmiş bir öğretim modeli olduğunu unutma: Eğrileri sonlu çözünürlükte örnekler. Bu nedenle eğilimi net biçimde gösterir, ancak cebirin veya ispatın yerini asla tutmaz.