극한값이란? 기울기에서 비율까지, 미적분 기초

함수는 믿을 수 있는 기계입니다

함수는 모든 입력에 정확히 하나의 출력을 주는 규칙입니다. 숫자 x를 넣으면 숫자 f(x)가 나오고, 같은 입력은 언제나 같은 출력을 냅니다. 입력은 수평축에, 출력은 수직축에 놓은 그래프로 나타냅니다.

여러분이 만나는 대부분의 그래프는 몇 가지 유형으로 나뉘며, 각 유형에는 그래프를 늘이거나 옮기는 조절값이 있습니다.

• 직선, y = ax + b에서 a는 기울기이고 b는 0일 때의 높이입니다.
• 포물선, y = ax² + bx + c는 U자 모양이나 거꾸로 된 U자 모양입니다.
• 파동, y = a·sin(bx)와 같은 식에서 a는 파동의 높이이고 b는 파동이 얼마나 촘촘하게 반복되는지를 정합니다.

조절값을 바꾸면 전체 곡선이 예측 가능한 방식으로 움직입니다. 이런 예측 가능성 덕분에 미적분이 가능해집니다. 규칙을 알고 있다면 곡선이 어떻게 움직이는지 정확한 질문을 할 수 있으니까요.

기울기: 이 직선은 얼마나 가파를까?

기울기는 직선의 수직 변화량을 수평 이동량으로 나눈 값입니다. 오른쪽으로 한 단계 움직여 직선이 얼마나 위나 아래로 이동하는지 확인해 보세요. 기울기가 3인 직선은 기울기가 1인 직선보다 세 배 빠르게 올라가고, 음의 기울기는 아래로 내려갑니다.

직선은 어디에서나 기울기가 같기 때문에 직선입니다. 곡선은 다릅니다. 언덕은 아래쪽에서는 완만하고, 옆에서는 가파르며, 꼭대기에서는 평평하므로 장소에 따라 가파른 정도가 달라집니다. 미적분의 핵심 질문은 곡선 위 한 점에서 가파른 정도를 어떻게 측정할 것인가입니다.

수직 변화량을 수평 이동량으로 나누려면 두 점이 필요합니다. 점 하나만으로는 수평 이동량이 전혀 없습니다. 이 문제를 해결하려면 도착하지 않은 채 점점 더 가까워지는 아이디어가 필요합니다.

극한값이란?

극한값은 x가 어떤 수 a에 점점 가까워질 때 f(x)가 어떤 값에 가까워지는지를 묻는 거야. 핵심 단어는 다가간다야. 함수가 그 값에 실제로 도달하지 않아도 되고, 그 지점에서 정의되지 않아도 돼.

(x² − 4) / (x − 2)를 생각해 보자. x = 2일 때는 의미가 없는 0/0이 나와. 하지만 다른 x에서는 분자를 (x − 2)(x + 2)로 인수분해한 다음 약분해서 x + 2를 남길 수 있어. x = 1.9, 1.99, 1.999를 넣어 보면 출력값은 3.9, 3.99, 3.999야. 반대쪽에서 2.1, 2.01, 2.001을 넣으면 4.1, 4.01, 4.001이 나와. 양쪽에서 모두 4에 가까워지므로, x = 2에서 함수에 빈틈이 있어도 극한값은 4야.

한쪽 극한

한 점에 왼쪽에서 다가갈 수도 있고 오른쪽에서 다가갈 수도 있어. 양쪽에서의 값이 같을 때만 양쪽 극한이 존재해. 그래프가 어떤 점의 바로 왼쪽에서는 1이고 바로 오른쪽에서는 3처럼 뛰어오른다면, 왼쪽 극한과 오른쪽 극한이 서로 다르므로 그곳에서는 보통의 극한이 존재하지 않아.

연속성: 펜을 떼지 않고 그리기

함수가 어떤 점에서 연속이려면 세 가지를 확인해야 해:

1. 그 점에서 함수의 값이 있어야 해;
2. 그 점에서 극한이 존재해야 해;
3. 두 값이 같아야 해.

일상적인 말로 하면, 연필을 떼지 않고 그 점을 지나서 그릴 수 있어야 해. 세 조건 중 하나라도 만족하지 않으면 여러 종류의 끊김이 생겨. 제거 가능한 빈틈(극한은 존재하지만 함수의 값이 없거나 잘못된 경우), 점프(왼쪽 극한과 오른쪽 극한이 서로 다른 경우), 또는 그래프가 화면 밖으로 뻗어 나가는 무한 끊김이 그 예야.

구간마다 한 규칙을 따르고 다른 곳에서는 또 다른 규칙을 따르는 조각별 함수는 이것을 연습하기에 가장 좋아. 중요한 건 경계 지점이야. 각 부분이 경계에 다가갈 때 어떻게 되는지 확인하고, 두 부분이 만나는지 물어봐.

평균 비율에서 순간 비율로

곡선 위에서 두 점을 고르고, 두 점을 지나는 직선을 그려 보세요. 이 직선을 할선이라고 합니다. 할선의 기울기인 (f(b) − f(a)) / (b − a)는 두 점 사이의 평균 변화율입니다. 이 구간에서 출력값이 평균적으로 얼마나 빠르게 변했는지를 나타내죠. 시간에 따른 자동차의 위치를 생각하면, 이는 도로의 한 구간을 달리는 평균 속력입니다.

이제 두 번째 점을 첫 번째 점 쪽으로 밀어 보세요. 가로 이동량은 줄어들고, 할선은 빙글 돌다가 극한값에서 접선에 자리 잡습니다. 접선은 곡선에 살짝 닿으면서 곡선이 향하는 방향을 가리키는 직선입니다. 접선의 기울기는 순간 변화율입니다. 여행 전체의 평균이 아니라 한순간 속도계에 표시되는 속력과 같아요.

할선의 기울기에서 얻는 이 극한값에는 도함수라는 이름이 있습니다. 이는 앞에서 살펴본 모든 극한값과 같은 생각을, 점점 짧아지는 할선의 기울기에 적용한 것입니다.

흔히 하는 실수

• 극한값이 함수의 값이라고 생각하기. 둘은 다를 수 있고, 다르다면 그 지점에서 함수는 연속이 아닙니다.
• 값을 대입한 뒤 0/0에서 포기하기. 이 결과는 극한값이 존재하지 않는다는 증거가 아니라, 식을 간단히 만들거나 인수분해하거나 주변의 값을 살펴보라는 신호입니다.
• "다가간다"를 "같다"로 읽기. 극한값은 도착이 아니라 추세를 나타냅니다.
• 할선이 답이라고 생각하기. 할선은 평균을 보여 줍니다. 순간을 알려 주는 것은 점점 줄어드는 과정뿐입니다.

실험실에서 탐구하는 방법

미적분 및 확률 실험실에서는 움직여 볼 수 있는 곡선으로 이런 개념을 보여 줍니다. 무료 첫 번째 월드는 다음 순서로 진행하면 좋습니다:

1. 함수란 무엇일까요?로 몸을 풀어 보세요.
2. 극한값이란 무엇일까요?에서 어떤 값에 가까워지는지 살펴보세요.
3. 연속성에서 끊어진 곳과 빈틈을 확인해 보세요.
4. 평균 변화율에서 할선을 측정해 보세요.
5. 순간 변화율에서 할선이 접선으로 바뀌는 모습을 살펴보세요.

실험실은 단순화된 학습 모델이라는 점을 기억하세요. 유한한 분해능으로 곡선을 표본화하므로 변화 추세를 분명하게 보여 주지만, 대수나 증명을 대신하지는 않습니다.