कक्षाएँ कैसे काम करती हैं: ग्रह के चारों ओर बगल की ओर गिरना

कक्षा ऐसी गिरावट है जो कभी धरती तक नहीं पहुँचती

कल्पना करो कि तुम एक बहुत ऊँची मीनार की चोटी से गेंद को क्षैतिज दिशा में फेंकते हो। हल्के से फेंकने पर गेंद आधार के पास गिरती है। ज़ोर से फेंकने पर वह और दूर गिरती है। अब ऐसे फेंकने की कल्पना करो जो इतनी तेज़ हो कि गेंद के थोड़ा नीचे गिरने तक ग्रह की मुड़ी हुई सतह भी उसके नीचे उतनी ही दूरी तक नीचे चली जाए। गेंद अब भी गिर रही है, लेकिन ज़मीन कभी उसके पास नहीं पहुँचती। यही कक्षा है।

इसलिए हर कक्षा के लिए ठीक दो चीज़ें ज़रूरी हैं:

• एक केंद्रीय द्रव्यमान, जिसका गुरुत्वाकर्षण कक्षा में घूम रही वस्तु को अंदर की ओर खींचता है, और
• एक बगल की ओर चाल, जो वस्तु को सीधे नीचे गिरने के बजाय चारों ओर ले जाती है।

बगल की ओर गति के बिना वस्तु सीधे अंदर गिरती है; गुरुत्वाकर्षण के बिना वह सीधी राह पर दूर निकल जाती है। दोनों चीज़ों का एक साथ होना ही वह कारण है कि अंतरिक्षयान के अंदर लोगों को भारहीनता महसूस होती है: वे और उनका यान एक ही दर से साथ-साथ गिर रहे होते हैं।

वह एकमात्र चाल जो कक्षा को गोल बनाए रखती है

किसी ग्रह से किसी भी दूरी पर ठीक एक ऐसी चाल होती है, जो पूरी तरह गोलाकार कक्षा देती है। बहुत बड़े पिंड के चारों ओर घूम रहे किसी छोटे पिंड के लिए, यह गोलाकार चाल होती है

v = √(GM / r)

जहाँ G गुरुत्वाकर्षण नियतांक है, M ग्रह का द्रव्यमान है और r ग्रह के केंद्र से दूरी है (उसकी सतह से नहीं)।

यह सूत्र एक हैरान करने वाली बात छिपाता है: आप जितनी करीब कक्षा में होंगे, आपको उतनी ही तेज़ चाल से जाना होगा। पृथ्वी की निचली कक्षा में एक उपग्रह लगभग डेढ़ घंटे में ग्रह का चक्कर लगाता है, जबकि बहुत दूर स्थित चंद्रमा को लगभग चार सप्ताह लगते हैं। गोलाकार चाल से थोड़ा धीमा करें, तो कक्षा एक ऐसे दीर्घवृत्त में बदल जाती है जो ग्रह के और करीब पहुँचता है; तेज़ करें, तो यह ऐसा दीर्घवृत्त बन जाता है जो और दूर तक झूलता है।

पलायन वेग

चाल बढ़ाते रहें और एक बिंदु पर पिंड कभी वापस नहीं लौटता। वह देहली पलायन वेग है, √(2GM / r), जो उसी दूरी पर गोलाकार चाल से हमेशा √2 (लगभग 1.41) गुना होता है। यह भागने वाली वस्तु के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता: एक कंकड़ और एक अंतरिक्षयान को एक ही स्थान से निकलने के लिए समान चाल चाहिए। आदर्श मॉडल में यह दिशा पर भी निर्भर नहीं करता, बशर्ते पथ सतह से न टकराए।

एक प्रक्षेपण से तीन संभावित नतीजे

अगर तुम किसी निश्चित बिंदु से क्षैतिज दिशा में प्रक्षेपित करते हो और केवल चाल बदलते हो, तो तीन में से एक नतीजा मिलता है:

1. बहुत धीमा: पथ एक दीर्घवृत्त होता है जो ग्रह के भीतर से गुजरता है, इसलिए वस्तु ग्रह से टकरा जाती है।
2. बीच की चाल: एक बंद कक्षा बनती है—एक खास चाल पर वृत्ताकार, और बाकी चालों पर दीर्घवृत्ताकार।
3. पलायन चाल के बराबर या उससे अधिक: पथ खुल जाता है और वस्तु हमेशा के लिए चली जाती है।

इसका अंदाज़ा लगाने का सबसे तेज़ तरीका है कि तुम खुद ये सीमाएँ खोजो: प्रक्षेपण की चाल को थोड़ा-थोड़ा बढ़ाओ, जब तक टक्कर बस कक्षा में न बदल जाए। फिर चाल बढ़ाते रहो, जब तक कक्षा बस खुलकर पलायन पथ न बन जाए। मुफ़्त पाठ गिरना, कक्षा में जाना या पलायन करना ठीक इसी प्रयोग पर आधारित है।

केप्लर के तीन नियम सरल शब्दों में

योहानेस केप्लर ने 1600 के शुरुआती दशकों में ग्रहों की गति के नियम खोजे, न्यूटन द्वारा यह समझाने से कई दशक पहले कि वे क्यों सही हैं।

पहला नियम: कक्षाएँ दीर्घवृत्त होती हैं

किसी बंधी हुई कक्षा का आकार एक दीर्घवृत्त होता है, जिसमें केंद्रीय पिंड एक फोकस पर होता है, केंद्र पर नहीं। वृत्त, बिना खिंचाव वाला दीर्घवृत्त ही होता है। इसके आकार का वर्णन दो संख्याएँ करती हैं: अर्ध-दीर्घ-अक्ष a (सबसे लंबी चौड़ाई का आधा, जो आकार तय करता है) और उत्केंद्रता e (वृत्त के लिए 0, लंबी और पतली दीर्घवृत्त के लिए 1 के समीप आता हुआ)। सबसे निकट के बिंदु को उपकेंद्रिका और सबसे दूर के बिंदु को अपकेंद्रिका कहते हैं।

दूसरा नियम: समान समय में समान क्षेत्रफल

ग्रह से परिक्रमा कर रहे पिंड तक खींची गई रेखा समान समय में समान क्षेत्रफल पार करती है। उपकेंद्रिका के पास यह रेखा छोटी होती है, इसलिए पिंड को वहाँ तेज़ चलना पड़ता है; अपकेंद्रिका पर दूर होने पर यह धीमे चलता है। यह कोणीय संवेग के संरक्षण का एक छिपा हुआ रूप है, और धूमकेतु इसे स्पष्ट रूप से दिखाते हैं—वे सूर्य के पास से तेज़ी से गुज़रते हैं और फिर बाहरी सौर मंडल में धीरे-धीरे आगे बढ़ते हैं।

तीसरा नियम: बड़ी कक्षाओं में बहुत अधिक समय लगता है

आवर्तकाल का वर्ग, अर्ध-दीर्घ-अक्ष के घन के समानुपाती होता है: T² ∝ a³। किसी कक्षा का आकार दोगुना करने पर उसका आवर्तकाल लगभग 2.8 गुना बढ़ता है, 2 गुना नहीं। पूर्ण नियतांक के साथ, T² = 4π²a³ / GM, यह नियम एक माप-पद्धति बन जाता है: किसी चंद्रमा को एक चक्कर पूरा करने में लगने वाला समय और उसकी कक्षा का आकार मापकर, तुम उस ग्रह का द्रव्यमान निकाल सकते हो जिसके चारों ओर वह घूमता है।

आम गलतफ़हमियाँ

• “अंतरिक्ष में गुरुत्वाकर्षण नहीं होता।” होता है। अंतरिक्ष स्टेशन की ऊँचाई पर भी यह ज़मीन पर इसके सामर्थ्य का लगभग नौ-दसवाँ हिस्सा होता है। भारहीनता मुक्त-पतन के कारण होती है, गुरुत्वाकर्षण के न होने से नहीं।
• “भारी उपग्रहों को तेज़ चलना पड़ता है।” परिक्रमा कर रहे पिंड का अपना द्रव्यमान, वृत्तीय चाल और पलायन वेग के सूत्रों से कट जाता है (जब तक वह ग्रह की तुलना में बहुत छोटा हो)।
• “अपने आगे चल रही किसी वस्तु तक पहुँचने के लिए तेज़ हो जाओ।” तेज़ होने से तुम्हारी कक्षा ऊँची हो जाती है, और ऊँची कक्षा का आवर्तकाल अधिक होता है, इसलिए अंत में तुम पीछे रह सकते हो।
• “ग्रह वृत्ताकार कक्षाओं में घूमते हैं।” ज़्यादातर ग्रहों की कक्षाएँ वृत्त के काफ़ी पास होती हैं, लेकिन वे दीर्घवृत्त होती हैं, और कुछ धूमकेतु व क्षुद्रग्रह बहुत अधिक खिंची हुई कक्षाओं में चलते हैं।

इसे प्रयोगशाला में कैसे जाँचें

Orbits और Gravity लैब में तुम किसी पिंड को ग्रह के चारों ओर प्रक्षेपित कर सकते हो और उसकी कक्षा को बनते हुए तुरंत देख सकते हो। मुफ़्त पहले विश्व में आगे बढ़ने का एक अच्छा क्रम यह है:

1. कक्षा क्या है? से शुरू करो और देखो कि बग़ल की ओर गिरने का विचार गति में कैसा दिखता है।
2. वृत्ताकार कक्षा की चाल आज़माओ और दूरी बदलकर देखो कि पास की कक्षाएँ तेज़ क्यों होती हैं।
3. पलायन वेग में सीमा से आगे बढ़ो।
4. केप्लर का पहला नियम में कक्षा को खींचकर लंबा करो, फिर केप्लर का तीसरा नियम में परिक्रमण अवधियों की तुलना करो।

हर पाठ तभी पूरा माना जाएगा, जब तुम अनुकरण के अंदर दिया गया लक्ष्य हासिल करोगे। इससे तुम सिर्फ़ पढ़ने के बजाय भौतिकी को परखते हो। ध्यान रखो कि यह लैब सिखाने के लिए बनाया गया एक मॉडल है: इसमें वायु प्रतिरोध के बिना आदर्शीकृत दो-पिंड गुरुत्वाकर्षण का इस्तेमाल होता है। इसलिए यह किसी वास्तविक मिशन का अनुमान लगाने के बजाय मुख्य व्यवहार को साफ़ तौर पर दिखाता है।