मुक्त-पतन और प्रक्षेप्य गति कैसे काम करती है: गति-विज्ञान

मुक्त-पतन: चाल में लगातार बढ़ोतरी

जब किसी वस्तु पर गुरुत्वाकर्षण के अलावा कोई और बल काम नहीं करता, तो हम उसकी गति को मुक्त पतन कहते हैं। पृथ्वी की सतह के पास नीचे की ओर त्वरण लगभग 9.8 m/s² होता है, जिसे g से लिखा जाता है। इसका मतलब है कि गिराई गई गेंद की चाल हर सेकंड लगभग 9.8 मीटर प्रति सेकंड बढ़ती है।

इसलिए, विराम से शुरू होने पर t सेकंड बाद चाल होती है

v = g t

एक सेकंड बाद गेंद लगभग 9.8 m/s की चाल से चलती है, दो सेकंड बाद लगभग 19.6 m/s की चाल से, और इसी तरह आगे। चाल को समय के विरुद्ध आलेखित करने पर मूलबिंदु से होकर गुजरने वाली एक सरल रेखा मिलती है। उस रेखा की ढाल त्वरण होती है, इसलिए सरल चाल का आलेख बताता है कि त्वरण नियत है।

दूरी की कहानी अलग क्यों है

चाल समय के साथ समान कला में बढ़ती है, लेकिन दूरी ऐसे नहीं बढ़ती। गेंद हर क्षण और तेज़ चल रही होती है, इसलिए हर सेकंड पहले वाले सेकंड से अधिक दूरी तय करती है। इन बढ़ते हुए चरणों को जोड़ने पर मिलता है

d = ½ g t²

दूरी समय के वर्ग पर निर्भर करती है। पहले सेकंड में गेंद लगभग 4.9 m गिरती है। दो सेकंड में वह इससे चार गुना, यानी लगभग 19.6 m गिर चुकी होती है। दूरी को समय के विरुद्ध दर्शाने वाला आलेख एक ऐसा वक्र होता है जो अधिक से अधिक तीखा होता जाता है, और किसी भी क्षण उसकी तीक्ष्णता चाल होती है।

क्या भारी वस्तु तेज़ी से गिरती है?

रोज़मर्रा का अनुभव कहता है कि हाँ: हथौड़ा पंख से तेज़ गिरता है। लेकिन पंख के धीरे गिरने का कारण वायु है, उसका हल्का होना नहीं। वायु किसी वस्तु को पीछे की ओर धकेलती है, और चौड़ी व फूली हुई वस्तु के लिए यह धक्का बहुत मायने रखता है।

वायु के बिना, हर वस्तु एक ही त्वरण से गिरती है। गुरुत्वाकर्षण बड़े द्रव्यमान को अधिक बल से खींचता है, लेकिन बड़े द्रव्यमान की चाल बढ़ाना भी अधिक कठिन होता है—और ये दोनों प्रभाव बिल्कुल एक-दूसरे को संतुलित कर देते हैं। गैलीलियो ने सदियों पहले तर्क के आधार पर इस विचार को समझा था, और बाद में अंतरिक्ष यात्रियों ने चंद्रमा पर हथौड़े और पंख को एक साथ गिराकर इसे दिखाया।

प्रयोगशाला में इसका आदर्श रूप इस्तेमाल किया जाता है: वायु का कोई प्रतिरोध नहीं और g नियत है। यह सिखाने के लिए बनाया गया एक सरल मॉडल है, और कम दूरी तक गिरने वाली छोटी, घनी वस्तुओं के लिए यह बहुत अच्छा मॉडल है।

सीधे ऊपर की ओर फेंकना

गेंद को ऊपर की ओर उछालें और गुरुत्वाकर्षण को इस बात से कोई फर्क नहीं पड़ता कि गेंद किस दिशा में जा रही है। वह फिर भी 9.8 m/s² की दर से नीचे खींचता है। इसलिए गेंद ऊपर जाते समय धीमी होती है, सबसे ऊपर एक क्षण के लिए रुकती है, फिर नीचे आते समय तेज़ होती जाती है।

इस सममिति से दो अच्छी बातें पता चलती हैं:

• ऊपर जाने में उतना ही समय लगता है जितना वापस उछालने की ऊँचाई तक नीचे आने में, और
• गेंद आपके हाथ में उसी चाल से लौटती है जिस चाल से वह हाथ से निकली थी, बस दिशा विपरीत होती है।

प्राप्त ऊँचाई उछालने की चाल v पर निर्भर करती है, जैसा कि h = v² / (2g) में दिखाया गया है। उछालने की चाल को दोगुना करने पर गेंद चार गुना ऊँचाई तक जाती है, क्योंकि चाल का वर्ग लिया जाता है।

प्रक्षेप्य: एक साथ दो गतियाँ

अब गेंद को एक कोण पर फेंकें। इसका रास्ता एक वक्र होता है, लेकिन रहस्य यह है कि वक्र के बारे में सोचना बंद करके गति को दो स्वतंत्र भागों में बाँट दें।

• क्षैतिज: बगल की ओर कुछ भी धक्का नहीं देता (वायु को नज़रअंदाज़ करते हुए), इसलिए क्षैतिज चाल स्थिर रहती है।
• ऊर्ध्वाधर: गुरुत्वाकर्षण ठीक वैसे ही काम करता है जैसे मुक्त पतन में करता है और g की दर से नीचे खींचता है।

ये दोनों भाग एक-दूसरे को प्रभावित नहीं करते। मेज़ से लुढ़ककर नीचे गिरने वाली गेंद और उसी ऊँचाई से सीधे गिराई गई गेंद एक ही क्षण पर ज़मीन से टकराती हैं, भले ही उनमें से एक बगल की ओर भी जाती हो। बगल की ओर की चाल केवल यह तय करती है कि वह कितनी दूर जाकर गिरेगी; गिरने का समय केवल ऊँचाई से तय होता है।

उछालने की चाल को बाँटना

v चाल और θ कोण से किया गया तिरछा उछाल क्षैतिज भाग v cos θ और ऊर्ध्वाधर भाग v sin θ में बाँटा जा सकता है। केवल ऊर्ध्वाधर भाग ही गुरुत्वाकर्षण का विरोध करता है, इसलिए वही उड़ान का समय और शिखर की ऊँचाई तय करता है। सबसे ऊपर ऊर्ध्वाधर चाल शून्य होती है, लेकिन क्षैतिज चाल अपरिवर्तित रहती है। इसी कारण गेंद अपने सबसे ऊँचे बिंदु पर भी बगल की ओर चलती रहती है।

दूरी और 45° का नियम

समतल ज़मीन पर कोई प्रक्षेप्य जितनी क्षैतिज दूरी तय करता है, वह है

R = v² sin(2θ) / g

कोण केवल sin(2θ) के माध्यम से आता है, और यह फलन तब सबसे बड़ा होता है जब 2θ का मान 90° हो। इसलिए 45° कोण पर सबसे अधिक दूरी तय होती है। जिन कोणों का योग 90° होता है, जैसे 30° और 60°, वे एक ही स्थान पर जाकर गिरते हैं: कम कोण वाला प्रक्षेप्य तेज़ी से और कम ऊँचाई पर उड़ता है, जबकि अधिक कोण वाला धीमी चाल से और अधिक ऊँचाई पर उड़ता है।

चाल का कोण से अधिक महत्व होता है। क्योंकि v का वर्ग लिया जाता है, उछालने की चाल को दोगुना करने पर दूरी चार गुना हो जाती है। जब वायु प्रतिरोध और उछालने की ऊँचाई का प्रभाव शामिल होता है, तो वास्तविक उछाल इस सरल नियम से अलग हो जाते हैं। फिर भी, दो स्वतंत्र गतियों का विचार इसकी नींव बना रहता है।

आम गलतफहमियाँ

• "गेंद आपके हाथ के बल को संचित रखती है।" छोड़ने के बाद, केवल गुरुत्वाकर्षण (और थोड़ी-सी वायु) उस पर कार्य करते हैं। गेंद अपने वेग के कारण चलती रहती है, किसी संचित धक्के के कारण नहीं।
• "चाप के सबसे ऊपरी बिंदु पर गेंद का त्वरण नहीं होता।" एक क्षण के लिए उसकी ऊर्ध्वाधर चाल शून्य होती है, लेकिन त्वरण फिर भी नीचे की ओर 9.8 m/s² रहता है।
• "भारी चीज़ें तेज़ी से गिरती हैं।" निर्वात में ऐसा नहीं होता। अंतर केवल वायु प्रतिरोध के कारण होता है।
• "चाल और त्वरण एक ही चीज़ हैं।" चाल बताती है कि आप कितनी तेज़ी से चलते हैं; त्वरण बताता है कि चाल कितनी तेज़ी से बदल रही है। किसी उछाली गई गेंद के सबसे ऊपरी बिंदु पर उसकी ऊर्ध्वाधर चाल नहीं होती, लेकिन त्वरण काफ़ी होता है।

इसे प्रयोगशाला में कैसे खोजें

बल और गति की लैब में असली भौतिकी इंजन चलता है, इसलिए तुम पहले अनुमान लगाते हो और फिर नतीजा देखते हो। पहले मुफ़्त विश्व में आगे बढ़ने का एक अच्छा क्रम:

1. मुक्त पतन से शुरू करो और देखो कि चाल लगातार एक ही दर से कैसे बढ़ती है।
2. यह कितनी दूर गिरता है में वर्ग वाले नियम को जाँचो।
3. क्षैतिज प्रक्षेपण में बगल की गति जोड़ो, फिर प्रक्षेप्य की दूरी में एक कोण पर फेंको।
4. द्रव्यमान मायने नहीं रखता में गैलीलियो के विचार को परखो।

अगर तुम किसी और बल को काम करते देखना चाहते हो, तो लैब में तैरने और डूबने पर एक मुफ़्त पाठ भी है: तैरे, डूबे या बीच में लटके रहे?। याद रखो कि अनुकरण एक सरल बनाया गया मॉडल है, जिसमें गुरुत्वाकर्षण स्थिर है और वायु प्रतिरोध नहीं है। इसलिए यह असली स्टेडियम में फेंकी गई गेंद की नकल करने के बजाय मुख्य व्यवहार को साफ़-साफ़ दिखाता है।