อธิบายเวกเตอร์: ผลบวก ดอทโปรดักต์ ครอสโปรดักต์

เวกเตอร์คืออะไร?

จำนวนอย่าง 5 บอกว่ามีเท่าไร ส่วน เวกเตอร์ บอกทั้งว่ามีเท่าไร และไปทางไหน ในสามมิติ เราเก็บเวกเตอร์ไว้เป็น องค์ประกอบ สามตัว เขียนเป็น (x, y, z) ซึ่งบอกว่าต้องเคลื่อนที่ไปตามแต่ละแกนไกลแค่ไหน

เวกเตอร์ (2, 1, 0) หมายถึง: ไปตาม x สองหน่วย ไปตาม y หนึ่งหน่วย และไม่ไปตาม z เลย เวกเตอร์ไม่ได้บอกว่าจะเริ่มต้นที่ไหน เลื่อนลูกศรไปไว้ที่ใดก็ได้ในอวกาศ ตราบใดที่ความยาวและทิศทางยังเหมือนเดิม มันก็ยังเป็นเวกเตอร์เดียวกัน

ความยาว (หรือขนาด) ของเวกเตอร์คำนวณได้จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส: |v| = √(x² + y² + z²) สูตรนี้เป็นพื้นฐานของผลคูณจุดที่จะเรียนต่อไป

การบวกเวกเตอร์โดยต่อปลายกับต้น

เมื่อต้องการบวกเวกเตอร์สองตัว ให้วางจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ตัวที่สองไว้ที่ปลายของเวกเตอร์ตัวแรก ผลบวกคือ ลูกศรจากจุดเริ่มต้นสุดไปยังจุดสิ้นสุดสุด ในรูปองค์ประกอบ เราเพียงบวกส่วนที่ตรงกัน:

a + b = (aₓ + bₓ, a_y + b_y, a_z + b_z)

ลองนึกภาพว่าคุณเดินไปทางตะวันออก 3 ช่วงตึก แล้วเดินไปทางเหนือ 4 ช่วงตึก การกระจัดทั้งหมดของคุณคือลูกศรเส้นตรงจากจุดที่เริ่มไปยังจุดที่ไปถึง และไม่สำคัญว่าคุณจะเดินไปทางตะวันออกหรือเหนือก่อน นี่จึงเป็นเหตุผลที่การบวกเวกเตอร์มีสมบัติ สลับที่ได้

นี่คือวิธีที่แรงต่าง ๆ รวมกัน หากเชือกสองเส้นดึงลังไปคนละทิศทาง ลังจะตอบสนองต่อ แรงลัพธ์ ซึ่งก็คือผลบวกของแรงดึงทั้งสอง การลบก็ทำงานในลักษณะเดียวกัน: การลบ b เท่ากับการบวกด้วยลูกศรที่ชี้ไปในทิศทางตรงข้าม

ผลคูณจุด: ลูกศรสองอันชี้ไปทางเดียวกันแค่ไหน?

ผลคูณจุด คูณองค์ประกอบที่ตรงกันแล้วบวกผลลัพธ์เข้าด้วยกัน:

a · b = aₓbₓ + a_yb_y + a_zb_z

ผลลัพธ์ยังเท่ากับ |a||b|cos θ โดย θ คือมุมระหว่างลูกศรทั้งสอง สิ่งนี้เชื่อมการคำนวณล้วน ๆ เข้ากับเรขาคณิต และทำให้เราเข้าใจความหมายของผลคูณจุดได้ดังนี้:

• บวก: ลูกศรชี้ไปในทิศทางเดียวกันโดยรวม
• ศูนย์: ลูกศร ตั้งฉาก กัน (ออร์ทอกอนัล)
• ลบ: ลูกศรชี้ไปในทิศทางตรงข้ามกันโดยรวม

กรณีที่ได้ศูนย์เป็นเคล็ดลับที่มีประโยชน์ คุณสามารถตรวจสอบว่ามีมุมฉากหรือไม่ด้วยการคำนวณเพียงอย่างเดียว โดยไม่ต้องใช้ไม้โปรแทรกเตอร์ ตัวอย่างเช่น (1, 2, 0) · (2, −1, 5) เท่ากับ 2 − 2 + 0 = 0 ดังนั้นเวกเตอร์สองตัวนี้จึงทำมุมกันพอดี 90° ข้อควรระวังคือ เวกเตอร์ศูนย์ไม่มีทิศทาง จึงไม่กล่าวว่าเวกเตอร์ศูนย์ทำมุมกับสิ่งใด

ผลคูณไขว้: ลูกศรที่พุ่งออกจากระนาบ

ดอทโปรดักต์ให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเดียว ส่วน ครอสโปรดักต์ ให้เวกเตอร์ใหม่ และมีอยู่เฉพาะในสามมิติเท่านั้น ผลลัพธ์ a × b มีคุณสมบัติ 3 ข้อ:

• ตั้งฉากกับทั้ง a และ b;
• มีความยาวเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เวกเตอร์ทั้งสองกางออก;
• มีทิศทางตามกฎมือขวา: งอนิ้วมือขวาจาก a ไปทาง b แล้วนิ้วโป้งจะชี้ไปตามผลลัพธ์

ลำดับมีความสำคัญในกรณีนี้: b × a = −(a × b) ดังนั้นการสลับอินพุตจะทำให้ลูกศรกลับทิศทาง และถ้า a กับ b ขนานกัน สี่เหลี่ยมด้านขนานจะยุบเหลือศูนย์ ทำให้ครอสโปรดักต์เป็นเวกเตอร์ศูนย์

วิศวกรและนักฟิสิกส์ใช้สิ่งนี้อยู่เสมอ แรงบิด โมเมนตัมเชิงมุม และทิศทางของแรงแม่เหล็กที่กระทำต่อประจุเคลื่อนที่ ล้วนใช้ครอสโปรดักต์ทั้งนั้น

การฉาย: เงาของลูกศร

ส่องแสงตรงลงบนเส้นที่ลากไปตามเวกเตอร์ b เงาที่เวกเตอร์ a ทอดลงบนเส้นนั้นคือการฉายของ a ลงบน b:

proj_b(a) = ((a · b) / (b · b)) b

ดอทโปรดักต์วัดว่าส่วนของ a ที่อยู่ตามแนว b มีมากเท่าใด การหารด้วย b · b จะปรับขนาด จากนั้นการคูณด้วย b จะเปลี่ยนค่านั้นกลับเป็นลูกศรที่อยู่ตามแนว b เส้นตรงที่เชื่อมปลายของ a กับเงาของมันจะตั้งฉากกับ b นี่จึงเป็นเหตุผลว่าทำไมการฉายจึงเกี่ยวข้องกับมุมฉาก

ถ้าดอทโปรดักต์เป็นลบ เงาจะชี้สวนทางกับ b การฉายช่วยแยกแรงออกเป็นส่วนที่อยู่ตามทางลาด และส่วนที่กดเข้าไปในทางลาด หรือใช้หาจุดบนเส้นที่ใกล้กับจุดที่กำหนดมากที่สุด

ข้อผิดพลาดทั่วไปที่ควรหลีกเลี่ยง

• เรียกดอทโปรดักต์ว่าเป็นเวกเตอร์ จริง ๆ แล้วมันเป็นจำนวนเพียงค่าเดียว ส่วนครอสโปรดักต์ต่างหากที่เป็นเวกเตอร์
• คิดว่าลำดับไม่มีผลเสมอ สำหรับผลบวกและดอทโปรดักต์นั้นไม่มีผล แต่มีผลกับครอสโปรดักต์
• สับสนกับผลลัพธ์ที่เป็นศูนย์ ดอทโปรดักต์ที่เป็นศูนย์หมายถึงตั้งฉากกัน ส่วนครอสโปรดักต์ที่เป็นศูนย์หมายถึงขนานกัน
• ลืมว่าเวกเตอร์ไม่มีจุดเริ่มต้นตายตัว มีเพียงความยาวและทิศทางเท่านั้นที่ใช้กำหนดเวกเตอร์

วิธีสำรวจเรื่องนี้ในห้องทดลอง

The Vector Lab lets you drag arrows in 3D and read the components change live. The free first world follows this order:

1. Build a resultant in Tip to tail.
2. Find a right angle with arithmetic in A right angle without a protractor.
3. Watch the parallelogram and the right-hand rule in An arrow out of a plane.
4. Cast a shadow in The shadow of an arrow.

The lab is a simplified teaching model with clean numbers, so keep an eye on the signs: they carry as much meaning as the sizes.