Vektor Dijelaskan: Jumlah, Hasil Kali Titik, Hasil Kali Silang

Apa itu vektor?

Angka seperti 5 menunjukkan seberapa banyak. Vektor menunjukkan seberapa banyak dan ke arah mana. Dalam tiga dimensi, kita menyimpannya sebagai tiga komponen, ditulis (x, y, z), yang menunjukkan seberapa jauh kamu harus bergerak sepanjang tiap sumbu.

Vektor (2, 1, 0) berarti: dua satuan sepanjang x, satu sepanjang y, dan tidak ada sepanjang z. Vektor ini tidak menunjukkan dari mana kamu harus mulai. Geser panah itu ke mana saja di ruang, dan selama panjang serta arahnya tetap sama, vektor itu tetap sama.

Panjangnya (atau magnitudonya) diperoleh dari teorema Pythagoras: |v| = √(x² + y² + z²). Rumus itu menjadi dasar untuk hasil kali titik nanti.

Menjumlahkan vektor dengan menghubungkan ujung satu vektor ke awal vektor lainnya.

Untuk menjumlahkan dua vektor, tempatkan awal vektor kedua di ujung vektor pertama. Jumlahnya adalah panah dari titik awal hingga titik akhir. Dalam komponen, kamu cukup menjumlahkan bagian-bagian yang bersesuaian:

a + b = (aₓ + bₓ, a_y + b_y, a_z + b_z)

Bayangkan kamu berjalan 3 blok ke timur lalu 4 blok ke utara. Perpindahan totalmu adalah panah lurus dari tempat kamu mulai hingga tempat kamu selesai, dan tidak masalah apakah kamu berjalan ke timur atau ke utara lebih dulu. Itulah sebabnya penjumlahan vektor bersifat komutatif.

Begitulah gaya-gaya bergabung. Jika dua tali menarik peti ke arah yang berbeda, peti merespons resultan, yaitu jumlah dari kedua tarikan tersebut. Pengurangan bekerja dengan cara yang sama: mengurangkan b berarti menambahkan panah yang menunjuk ke arah berlawanan.

Hasil kali titik: seberapa besar kesamaan antara dua vektor?

Hasil kali titik mengalikan komponen-komponen yang bersesuaian lalu menjumlahkan hasilnya:

a · b = aₓbₓ + a_yb_y + a_zb_z

Hasil kali ini juga sama dengan |a||b|cos θ, dengan θ sebagai sudut di antara kedua panah. Hal ini menghubungkan perhitungan murni dengan geometri dan memberikan makna pada hasil kali titik:

• Positif: panah-panahnya kurang lebih menunjuk ke arah yang sama.
• Nol: panah-panahnya tegak lurus (ortogonal).
• Negatif: panah-panahnya kurang lebih saling berlawanan.

Kasus nol adalah trik yang berguna. Kamu bisa menguji apakah ada sudut siku-siku hanya dengan aritmetika, tanpa busur derajat. Misalnya, (1, 2, 0) · (2, −1, 5) menghasilkan 2 − 2 + 0 = 0, jadi kedua vektor itu membentuk sudut tepat 90°. Namun, perlu diingat: vektor nol tidak memiliki arah, jadi vektor itu tidak dianggap membentuk sudut dengan apa pun.

Hasil kali silang: sebuah vektor yang arahnya keluar dari bidang.

Hasil kali titik menghasilkan satu angka. Hasil kali silang menghasilkan vektor baru, dan hanya ada dalam tiga dimensi. Hasil a × b memiliki tiga sifat:

• tegak lurus terhadap a dan b;
• panjangnya sama dengan luas jajaran genjang yang dibentangkan oleh kedua vektor;
• arahnya mengikuti aturan tangan kanan: lengkungkan jari-jari tangan kananmu dari a menuju b, dan ibu jarimu akan menunjuk searah hasilnya.

Urutan penting di sini: b × a = −(a × b), jadi menukar input akan membalik arah panah. Jika a dan b paralel, jajaran genjangnya menyusut hingga tidak memiliki luas, dan hasil kali silangnya adalah vektor nol.

Insinyur dan fisikawan terus-menerus mengandalkannya: torsi, momentum sudut, dan arah gaya magnet pada muatan yang bergerak semuanya menggunakan hasil kali silang.

Proyeksi: bayangan dari sebuah panah.

Sorotkan cahaya lurus ke bawah pada garis yang searah dengan vektor b. Bayangan yang dibuat vektor a pada garis itu adalah proyeksi a pada b:

proj_b(a) = ((a · b) / (b · b)) b

Hasil kali titik mengukur seberapa banyak bagian a yang berada sepanjang b, pembagian dengan b · b mengubah skalanya, dan perkalian dengan b mengubah nilai itu kembali menjadi panah yang searah dengan b. Segmen yang menghubungkan ujung a dengan bayangannya tegak lurus terhadap b, sehingga proyeksi dan sudut siku-siku saling berkaitan.

Jika hasil kali titiknya negatif, bayangan mengarah berlawanan dengan b. Proyeksi digunakan untuk membagi gaya menjadi bagian yang searah dengan bidang miring dan bagian yang mendorong ke dalamnya, atau untuk menemukan titik pada sebuah garis yang paling dekat dengan titik tertentu.

Kesalahan umum yang perlu dihindari.

• Menganggap hasil kali titik sebagai vektor. Hasilnya adalah satu angka. Hasil kali silanglah yang merupakan vektor.
• Mengira urutan tidak pernah berpengaruh. Urutan tidak berpengaruh pada jumlah dan hasil kali titik, tetapi berpengaruh pada hasil kali silang.
• Keliru memahami hasil nol. Hasil kali titik nol berarti tegak lurus; hasil kali silang nol berarti paralel.
• Lupa bahwa vektor tidak memiliki titik awal yang tetap. Hanya panjang dan arahnya yang menentukan vektor.

Cara menjelajahi ini di laboratorium.

Lab Vektor memungkinkanmu menyeret panah dalam 3D dan melihat perubahan komponennya secara langsung. Dunia pertama yang gratis mengikuti urutan ini:

1. Buat resultan di Ujung ke pangkal.
2. Temukan sudut siku-siku dengan perhitungan di Sudut siku-siku tanpa busur derajat.
3. Amati jajaran genjang dan aturan tangan kanan di Panah yang keluar dari bidang.
4. Buat bayangan di Bayangan sebuah panah.

Lab ini adalah model pembelajaran sederhana dengan angka-angka yang rapi, jadi perhatikan tandanya: tanda sama pentingnya dengan ukurannya.