वेक्टर समझें: योग, डॉट प्रोडक्ट, क्रॉस प्रोडक्ट

वेक्टर क्या होता है?

5 जैसी संख्या बताती है कि मात्रा कितनी है। एक वेक्टर बताता है कि मात्रा कितनी है और किस दिशा में है। तीन आयामों में हम इसे तीन घटकों के रूप में रखते हैं, जिन्हें (x, y, z) लिखा जाता है। ये बताते हैं कि प्रत्येक अक्ष के साथ कितनी दूर जाना है।

वेक्टर (2, 1, 0) का अर्थ है: x के साथ दो इकाई, y के साथ एक इकाई और z के साथ शून्य इकाई। यह नहीं बताता कि शुरुआत कहाँ से करनी है। तीर को अंतरिक्ष में कहीं भी ले जाएँ और, जब तक उसकी लंबाई और दिशा समान रहें, वह वही वेक्टर रहेगा।

इसकी लंबाई (या परिमाण) पाइथागोरस के सूत्र से मिलती है: |v| = √(x² + y² + z²)। यही सूत्र आगे आने वाले डॉट प्रोडक्ट की नींव है।

वेक्टरों को सिर से पूँछ जोड़ना

दो सदिशों को जोड़ने के लिए, दूसरे सदिश के आरंभिक बिंदु को पहले सदिश के अंतिम बिंदु पर रखें। योग वह तीर है जो बिल्कुल शुरुआत से बिल्कुल अंत तक जाता है। अवयवों में, आप बस समान भागों को जोड़ते हैं:

a + b = (aₓ + bₓ, a_y + b_y, a_z + b_z)

कल्पना करो कि तुम 3 ब्लॉक पूर्व की ओर और फिर 4 ब्लॉक उत्तर की ओर चलते हो। तुम्हारा कुल विस्थापन उस जगह से, जहाँ से तुमने शुरुआत की थी, उस जगह तक का सीधा तीर है जहाँ तुम पहुँचे, और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि तुम पहले पूर्व की ओर चले या उत्तर की ओर। इसी कारण सदिशों का योग क्रमविनिमेय होता है।

बल इसी तरह मिलकर काम करते हैं। अगर दो रस्सियाँ किसी बक्से को अलग-अलग दिशाओं में खींचती हैं, तो बक्सा दोनों खिंचावों के योग, यानी परिणामी बल, के अनुसार प्रतिक्रिया करता है। घटाना भी इसी तरह काम करता है: b घटाना, विपरीत दिशा में apontित तीर को जोड़ने जैसा है।

डॉट गुणनफल: दो तीर कितनी हद तक एक ही दिशा में हैं?

डॉट गुणनफल समान अवयवों को गुणा करके उनके परिणामों का योग करता है:

a · b = aₓbₓ + a_yb_y + a_zb_z

यह |a||b|cos θ के बराबर भी होता है, जहाँ θ दोनों तीरों के बीच का कोण है। इससे एक शुद्ध गणना का संबंध ज्यामिति से जुड़ता है और डॉट गुणनफल का अर्थ स्पष्ट होता है:

• धनात्मक: तीर लगभग एक ही दिशा में संकेत करते हैं।
• शून्य: तीर लंबवत (ऑर्थोगोनल) होते हैं।
• ऋणात्मक: तीर लगभग एक-दूसरे के विपरीत दिशा में संकेत करते हैं।

शून्य वाला मामला एक उपयोगी तरकीब है। तुम बिना प्रोट्रैक्टर के, केवल अंकगणित से समकोण की जाँच कर सकते हो। उदाहरण के लिए, (1, 2, 0) · (2, −1, 5) का मान 2 − 2 + 0 = 0 है, इसलिए ये दोनों सदिश ठीक 90° के कोण पर मिलते हैं। एक बात ध्यान रखें: शून्य सदिश की कोई दिशा नहीं होती, इसलिए यह नहीं कहा जाता कि वह किसी चीज़ के साथ कोण बनाता है।

क्रॉस गुणनफल: समतल से बाहर निकलता एक तीर

डॉट गुणनफल एक संख्या देता है। क्रॉस गुणनफल एक नया सदिश देता है और यह केवल तीन आयामों में मौजूद होता है। परिणाम a × b में तीन गुण होते हैं:

• यह a और b दोनों के लंबवत होता है;
• इसकी लंबाई उस समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर होती है जिसे दोनों सदिश फैलाते हैं;
• इसकी दिशा दाएँ हाथ के नियम का पालन करती है: अपने दाएँ हाथ की उँगलियों को a से b की ओर मोड़ो और तुम्हारा अंगूठा परिणाम की दिशा में संकेत करेगा।

यहाँ क्रम मायने रखता है: b × a = −(a × b), इसलिए आगत संकेतों का क्रम बदलने पर तीर की दिशा उलट जाती है। और अगर a और b समानांतर हों, तो समांतर चतुर्भुज सिकुड़कर कुछ भी नहीं रह जाता और क्रॉस गुणनफल शून्य सदिश होता है।

इंजीनियर और भौतिक विज्ञानी इस पर लगातार निर्भर रहते हैं: बलाघूर्ण, कोणीय संवेग और गतिमान आवेश पर लगने वाले चुंबकीय बल की दिशा—इन सभी में क्रॉस गुणनफल का उपयोग होता है।

प्रक्षेपण: एक तीर की छाया

b सदिश के साथ जाने वाली रेखा पर सीधे नीचे प्रकाश डालें। उस रेखा पर a सदिश द्वारा बनाई गई छाया, b पर a का प्रक्षेपण है:

proj_b(a) = ((a · b) / (b · b)) b

डॉट गुणनफल यह मापता है कि a का कितना भाग b की दिशा में है, b · b से भाग देने पर उसका पैमाना बदला जाता है, और b से गुणा करने पर वह मात्रा फिर b की दिशा में एक तीर बन जाती है। a के सिरे को उसकी छाया से जोड़ने वाला रेखाखंड b के लंबवत होता है, इसलिए प्रक्षेपण और समकोण आपस में जुड़े हैं।

अगर डॉट गुणनफल ऋणात्मक हो, तो छाया b के विपरीत दिशा में होती है। प्रक्षेपण की मदद से किसी बल को ढलान के साथ लगने वाले भाग और ढलान के अंदर धकेलने वाले भाग में बाँटा जा सकता है, या किसी दिए गए बिंदु से किसी रेखा पर सबसे निकटतम बिंदु पाया जा सकता है।

आम गलतियाँ जिनसे बचें

• डॉट गुणनफल को सदिश कहना। यह एक अकेली संख्या होती है। क्रॉस गुणनफल सदिश होता है।
• यह मान लेना कि क्रम का कभी कोई महत्व नहीं होता। योग और डॉट गुणनफल में ऐसा नहीं होता, लेकिन क्रॉस गुणनफल में क्रम मायने रखता है।
• शून्य परिणामों को आपस में मिला देना। शून्य डॉट गुणनफल का अर्थ है लंबवत; शून्य क्रॉस गुणनफल का अर्थ है समानांतर।
• यह भूल जाना कि सदिश का कोई निश्चित आरंभ-बिंदु नहीं होता। उसे केवल उसकी लंबाई और दिशा परिभाषित करती हैं।

इसे लैब में कैसे देखें

Vector Lab में तुम 3D में तीर खींच सकते हो और उनके घटकों में होने वाला बदलाव तुरंत देख सकते हो। पहले मुफ़्त वर्ल्ड में यह क्रम है:

1. सिरे से पूँछ तक में परिणामी सदिश बनाओ।
2. चाँदे के बिना समकोण में गणित से समकोण ढूँढ़ो।
3. समतल से बाहर निकलता तीर में समांतर चतुर्भुज और दाएँ हाथ का नियम देखो।
4. तीर की परछाईं में परछाईं बनाओ।

यह लैब पढ़ाने के लिए बनाया गया एक सरल मॉडल है, जिसमें साफ़-सुथरी संख्याएँ हैं। इसलिए चिह्नों पर ध्यान दो: उनका मतलब भी परिमाण जितना ही अहम है।