Vettori spiegati: somma, prodotto punto, prodotto croce

Che cos'è un vettore?

Un numero come 5 dice quanto. Un vettore dice quanto e in quale direzione. In tre dimensioni lo memorizziamo come tre componenti, scritte (x, y, z), che indicano di quanto spostarti lungo ciascun asse.

Il vettore (2, 1, 0) significa: due unità lungo x, una lungo y, nessuna lungo z. Non dice da dove partire. Puoi spostare la freccia ovunque nello spazio e, finché la sua lunghezza e la sua direzione restano uguali, è lo stesso vettore.

La sua lunghezza (o modulo) si calcola con il teorema di Pitagora: |v| = √(x² + y² + z²). Questa formula è alla base del prodotto punto, che vedremo più avanti.

Sommare vettori mettendoli coda contro punta

Per sommare due vettori, posiziona l'inizio del secondo sulla punta del primo. La somma è la freccia che va dall'inizio esatto alla fine esatta. In termini di componenti, basta sommare le parti corrispondenti:

a + b = (aₓ + bₓ, a_y + b_y, a_z + b_z)

Immagina di camminare per 3 isolati verso est e poi per 4 verso nord. Il tuo spostamento totale è la freccia dritta dal punto in cui hai iniziato a quello in cui sei arrivato, e non importa se hai camminato prima verso est o verso nord. Per questo la somma dei vettori è commutativa.

È così che si combinano le forze. Se due corde tirano una cassa in direzioni diverse, la cassa reagisce alla risultante, cioè alla somma dei due tiri. La sottrazione funziona allo stesso modo: sottrarre b significa sommare la freccia che punta nella direzione opposta.

Il prodotto punto: quanto concordano due frecce?

Il prodotto scalare moltiplica le componenti corrispondenti e somma i risultati:

a · b = aₓbₓ + a_yb_y + a_zb_z

È anche uguale a |a||b|cos θ, dove θ è l'angolo tra le frecce. Questo collega un semplice calcolo alla geometria e dà al prodotto scalare il suo significato:

• Positivo: le frecce puntano all'incirca nello stesso verso.
• Zero: le frecce sono perpendicolari (ortogonali).
• Negativo: le frecce puntano all'incirca in versi opposti.

Il caso in cui il risultato è zero è particolarmente utile. Puoi verificare se un angolo è retto usando solo l'aritmetica, senza goniometro. Per esempio, (1, 2, 0) · (2, −1, 5) dà 2 − 2 + 0 = 0, quindi quei due vettori formano un angolo di esattamente 90°. Una precisazione: un vettore nullo non ha direzione, quindi non si dice che formi un angolo con altri vettori.

Il prodotto croce: una freccia fuori dal piano

Il prodotto scalare restituisce un singolo numero. Il prodotto vettoriale restituisce un nuovo vettore ed esiste solo in tre dimensioni. Il risultato a × b ha tre proprietà:

• è perpendicolare sia ad a sia a b;
• la sua lunghezza è uguale all’area del parallelogramma definito dai due vettori;
• la sua direzione segue la regola della mano destra: piega le dita della mano destra da a verso b e il pollice punterà nella direzione del risultato.

Qui l’ordine è importante: b × a = −(a × b), quindi scambiando gli ingressi si inverte la freccia. Se a e b sono paralleli, il parallelogramma si riduce a nulla e il prodotto vettoriale è il vettore nullo.

Ingegneri e fisici lo usano continuamente: il momento torcente, la quantità di moto angolare e la direzione della forza magnetica su una carica in movimento usano tutti prodotti vettoriali.

Proiezione: l’ombra di una freccia

Punta una luce dritta verso il basso sulla retta nella direzione del vettore b. L’ombra proiettata dal vettore a su quella retta è la proiezione di a su b:

proj_b(a) = ((a · b) / (b · b)) b

Il prodotto scalare misura quanto di a si trova lungo b, la divisione per b · b lo ridimensiona e la moltiplicazione per b trasforma nuovamente quella quantità in una freccia lungo b. Il segmento che unisce la punta di a alla sua ombra è perpendicolare a b: per questo proiezioni e angoli retti sono collegati.

Se il prodotto scalare è negativo, l’ombra punta nella direzione opposta a b. La proiezione permette di scomporre una forza in una parte lungo una rampa e una parte che spinge contro di essa, oppure di trovare il punto più vicino su una retta rispetto a un punto dato.

Errori comuni da evitare

• Chiamare il prodotto scalare un vettore. È un singolo numero. Il prodotto vettoriale è il vettore.
• Pensare che l’ordine non sia mai importante. Non lo è per le somme e i prodotti scalari, ma lo è per i prodotti vettoriali.
• Confondere i risultati nulli. Un prodotto scalare nullo significa che i vettori sono perpendicolari; un prodotto vettoriale nullo significa che sono paralleli.
• Dimenticare che il vettore non ha un punto di partenza fisso. A definirlo sono solo la sua lunghezza e la sua direzione.

Come esplorarlo in laboratorio

Il Laboratorio dei vettori ti permette di trascinare frecce in 3D e vedere come cambiano le componenti in tempo reale. Il primo mondo gratuito segue quest'ordine:

1. Costruisci una risultante in Dalla punta alla coda.
2. Trova un angolo retto con l'aritmetica in Un angolo retto senza goniometro.
3. Osserva il parallelogramma e la regola della mano destra in Una freccia che esce da un piano.
4. Proietta un'ombra in L'ombra di una freccia.

Il laboratorio è un modello didattico semplificato, con numeri facili, quindi fai attenzione ai segni: hanno un significato importante quanto le grandezze.