Векторы: сумма, скалярное и векторное произведение

Что такое вектор?

Число вроде 5 показывает, сколько чего-то есть. Вектор показывает, сколько и в каком направлении. В трёх измерениях мы записываем его как три компоненты: (x, y, z). Они показывают, насколько нужно переместиться вдоль каждой оси.

Вектор (2, 1, 0) означает: две единицы вдоль x, одну вдоль y и ни одной вдоль z. Он не указывает, откуда начинать. Переместите стрелку в любую точку пространства — если её длина и направление не изменятся, это будет тот же вектор.

Его длина (или модуль) вычисляется по теореме Пифагора: |v| = √(x² + y² + z²). Эта формула станет основой для скалярного произведения, о котором мы поговорим дальше.

Сложение векторов от конца к началу

Чтобы сложить два вектора, поместите начало второго в конец первого. Сумма — это стрелка от самого первого начала до самого последнего конца. В координатах достаточно сложить соответствующие компоненты:

a + b = (aₓ + bₓ, a_y + b_y, a_z + b_z)

Представьте, что вы прошли 3 квартала на восток, а затем 4 квартала на север. Ваше общее перемещение — это прямая стрелка от места, где вы начали, до места, где вы оказались. При этом неважно, шли ли вы сначала на восток или на север. Поэтому сложение векторов коммутативно.

Так складываются силы. Если две верёвки тянут ящик в разных направлениях, ящик реагирует на равнодействующую — сумму двух сил. Вычитание работает так же: вычесть b — значит прибавить стрелку, направленную в противоположную сторону.

Скалярное произведение: насколько два вектора направлены одинаково?

Скалярное произведение перемножает соответствующие компоненты и складывает результаты:

a · b = aₓbₓ + a_yb_y + a_zb_z

Оно также равно |a||b|cos θ, где θ — угол между стрелками. Так чистое вычисление связывается с геометрией и раскрывает смысл скалярного произведения:

• Положительное значение: стрелки в целом направлены в одну сторону.
• Ноль: стрелки перпендикулярны (ортогональны).
• Отрицательное значение: стрелки в целом направлены в противоположные стороны.

Случай с нулём особенно полезен. Так можно проверить наличие прямого угла, используя только арифметику, без транспортира. Например, (1, 2, 0) · (2, −1, 5) равняется 2 − 2 + 0 = 0, поэтому эти два вектора образуют угол ровно 90°. Есть одно уточнение: у нулевого вектора нет направления, поэтому нельзя сказать, что он образует угол с чем-либо.

Векторное произведение: стрелка, выходящая из плоскости

Скалярное произведение даёт одно число. Векторное произведение даёт новый вектор и существует только в трёх измерениях. Результат a × b обладает тремя свойствами:

• он перпендикулярен и a, и b;
• его длина равна площади параллелограмма, натянутого на эти два вектора;
• его направление определяется по правилу правой руки: согните пальцы правой руки от a к b, и большой палец укажет направление результата.

Здесь важен порядок: b × a = −(a × b), поэтому при перестановке входов стрелка меняет направление. Если a и b параллельны, параллелограмм превращается в линию, его площадь становится нулевой, а векторное произведение становится нулевым вектором.

Инженеры и физики постоянно используют его: крутящий момент, угловой импульс и направление магнитной силы, действующей на движущийся заряд, — всё это связано с векторными произведениями.

Проекция: тень стрелки

Направьте свет прямо на линию, проходящую вдоль вектора b. Тень, которую вектор a отбрасывает на эту линию, — это проекция a на b:

proj_b(a) = ((a · b) / (b · b)) b

Скалярное произведение показывает, какая часть a направлена вдоль b, деление на b · b изменяет масштаб, а умножение на b снова превращает эту величину в стрелку вдоль b. Отрезок, соединяющий конец a с его тенью, перпендикулярен b, поэтому проекция связана с прямыми углами.

Если скалярное произведение отрицательное, тень направлена противоположно b. Проекция помогает разделить силу на часть, направленную вдоль наклонной плоскости, и часть, прижимающую к ней, а также найти ближайшую точку на линии к заданной точке.

Распространённые ошибки, которых следует избегать

• Называть скалярное произведение вектором. Это одно число. Векторным является векторное произведение.
• Считать, что порядок никогда не имеет значения. Для сумм и скалярных произведений это так, но для векторных произведений — нет.
• Путать нулевые результаты. Нулевое скалярное произведение означает перпендикулярность; нулевое векторное произведение — параллельность.
• Забывать, что у вектора нет фиксированного начала. Его определяют только длина и направление.

Как изучить это в лаборатории

The Vector Lab lets you drag arrows in 3D and read the components change live. The free first world follows this order:

1. Build a resultant in Tip to tail.
2. Find a right angle with arithmetic in A right angle without a protractor.
3. Watch the parallelogram and the right-hand rule in An arrow out of a plane.
4. Cast a shadow in The shadow of an arrow.

The lab is a simplified teaching model with clean numbers, so keep an eye on the signs: they carry as much meaning as the sizes.