Długość kończyny i prędkość

Mysz i koń potrafią chodzić, kłusować i galopować. Jednak koń pokonuje podłoże szybciej w każdym chodzie. Czy istnieje prosta zasada łącząca rozmiar zwierzęcia z prędkością, przy której zmienia ono chód? Tak — wynika ona z pytania, co ogranicza poruszającą się nogę.

Noga podczas chodu jest odwróconym wahadłem. Podczas chodu ciało przesklepia się nad sztywną, opartą na podłożu nogą, jak odwrócone wahadło. Biodro porusza się po łuku okręgu, którego promieniem jest długość nogi (w przybliżeniu wysokość bioder, h). Ciało poruszające się po okręgu potrzebuje przyspieszenia dośrodkowego v² / h skierowanego w dół, w stronę biodra. Grawitacja może zapewnić najwyżej g = 9.81 m/s². Zatem w tym prostym modelu osoba idąca pozostaje na podłożu tylko wtedy, gdy v² / h ≤ g.

Stosunek tych dwóch wartości to liczba Froude’a:

Fr = v² / (g × h)

Nie ma jednostek. W tym modelu podczas chodu Fr nie może przekroczyć 1. Rzeczywiste zwierzęta zmieniają chód z chodzenia na bieg znacznie wcześniej, przy około Fr ≈ 0,5.

Przykład obliczenia. Rozwiąż Fr = 0.5 względem prędkości: v = √(0.5 × g × h).

• Osoba o wysokości bioder 0.9 m: v = √(0.5 × 9.81 × 0.9) = √4.41 ≈ 2.1 m/s (około 7,5 km/h). To wartość zbliżona do prędkości, przy której ludzie przechodzą od szybkiego marszu do truchtu.
• Długonogie zwierzę o h = 1,8 m (wartość przyjęta, mniej więcej wysokość bioder dużego konia): v = √(0.5 × 9.81 × 1.8) = √8.83 ≈ 3.0 m/s.
• Małe zwierzę o h = 0,03 m (przyjęto, że jest wielkości myszy): v = √(0.5 × 9.81 × 0.03) = √0.147 ≈ 0.38 m/s.

Prędkość rośnie wraz z pierwiastkiem kwadratowym z długości nóg, więc podwojenie długości nóg zwiększa prędkość przejścia tylko √2 ≈ 1.41 razy.

Podobieństwo dynamiczne. Oto najważniejsza idea. Dwa zwierzęta różnej wielkości, poruszające się z taką samą liczbą Froude’a, poruszają się w mechanicznie podobny sposób: używają tego samego chodu, a długość ich kroku jest mniej więcej taką samą wielokrotnością długości nóg. Duże i małe zwierzęta są swoimi pomniejszonymi lub powiększonymi wersjami w ruchu. Dlatego koń wielkości zabawki galopuje prawie tak samo jak prawdziwy koń, tylko szybciej. Tę samą zależność wykorzystuje się do oszacowania, jak szybko poruszało się wymarłe zwierzę na podstawie jego śladów; pokazuje to laboratorium Wykopaliska dinozaurów. Tutaj potrzebujemy tylko tej zasady.

Czy to znaczy, że większe zawsze jest szybsze? Nie. Prędkość maksymalna zależy od czegoś więcej niż tylko od zmiany chodu: od siły mięśni, masy ciała, mechaniki kroku i tego, do czego zwierzę wyewoluowało. Wśród ssaków najszybszymi biegaczami są zwierzęta średniej wielkości (ważące dziesiątki kilogramów, na przykład gepard). Bardzo duże zwierzęta nie są szybsze. Badania słoni azjatyckich wykazały prędkości około 6 do 7 m/s (mniej więcej 25 km/h). Nawet przy tej prędkości cały czas miały co najmniej jedną stopę na ziemi, chociaż ruch ich ciała przypominał bieg. Ich ogromne kości i nogi wyznaczają granicę, jak pokaże ostatni etap.