طول الساق والسرعة.

يمشي كلٌّ من الفأر والحصان، ويهرول، ويعدو. لكن الحصان يقطع مسافة أكبر بسرعة أعلى في كل طريقة من طرق المشي. فهل توجد قاعدة بسيطة تربط بين حجم الحيوان والسرعة التي يغيّر عندها طريقة مشيه؟ نعم، وتبدأ هذه القاعدة بالسؤال عن العامل الذي يحدّ من حركة ساق أثناء المشي.

ساق المشي بندول مقلوب. أثناء المشي، يقفز الجسم فوق ساق ثابتة ومثبتة على الأرض، مثل بندول مقلوب. ويتحرك الورك على قوس دائري نصف قطره طول الساق (أي نحو ارتفاع الورك، h). يحتاج الجسم الذي يتحرك في دائرة إلى تسارع مركزي v² / h يتجه إلى أسفل نحو الورك. ويمكن للجاذبية أن توفر في أقصى حد g = 9.81 m/s². لذلك، في هذا النموذج البسيط، يبقى الحيوان ملامسًا للأرض فقط ما دام v² / h ≤ g.

تُسمّى النسبة بين الكميتين عدد فرويد:

Fr = v² / (g × h)

ولا وحدة له. في هذا النموذج، لا يمكن أن يتجاوز Fr القيمة 1 أثناء المشي. أما الحيوانات الحقيقية فتنتقل من المشي إلى الركض قبل ذلك بكثير، عند نحو Fr ≈ 0.5.

تنبؤ محلول. حلّ Fr = 0.5 لإيجاد السرعة: v = √(0.5 × g × h).

• شخص يبلغ ارتفاع وركه 0.9 m: v = √(0.5 × 9.81 × 0.9) = √4.41 ≈ 2.1 m/s (نحو 7.5 km/h). وهذا قريب من السرعة التي ينتقل عندها الناس من المشي السريع إلى الهرولة.
• حيوان طويل الساقين، حيث h = 1.8 m (قيمة مفترضة، تقارب ارتفاع ورك حصان كبير): v = √(0.5 × 9.81 × 1.8) = √8.83 ≈ 3.0 m/s.
• حيوان صغير، حيث h = 0.03 m (حيوان بحجم فأر، قيمة مفترضة): v = √(0.5 × 9.81 × 0.03) = √0.147 ≈ 0.38 m/s.

تزداد السرعة مع الجذر التربيعي لطول الساق، لذلك فإن مضاعفة طول الساق ترفع سرعة الانتقال بمقدار √2 ≈ 1.41 فقط.

التشابه الديناميكي. إليك الفكرة الأساسية. حيوانان مختلفا الحجم، يتحركان عند عدد فرود نفسه، يتحركان بطريقة متشابهة ميكانيكيًا: يستخدمان المشية نفسها، ويكون طول خطوتهما تقريبًا مضاعفًا مماثلًا لطول ساقيهما. فالحيوانات الكبيرة والصغيرة نسخ مكبّرة أو مصغّرة من بعضها في الحركة. ولهذا يركض حصان بحجم لعبة بطريقة تشبه إلى حد كبير الحصان الحقيقي، لكن بسرعة أكبر. وتُستخدم العلاقة نفسها لتقدير سرعة حركة حيوان منقرض انطلاقًا من آثار أقدامه؛ ويعرض مختبر حفرية الديناصور كيفية ذلك. نحتاج هنا إلى المبدأ فقط.

هل يعني هذا أن الأكبر حجمًا يكون دائمًا أسرع؟ لا. تعتمد السرعة القصوى على أكثر من تغيّر المشية: قوة العضلات، ووزن الجسم، وميكانيكا الخطوة، وما تطوّر الحيوان لأدائه. وعبر الثدييات، تكون أسرع الحيوانات عدْوًا هي الحيوانات متوسطة الحجم (عشرات الكيلوجرامات، مثل الفهد). أما الحيوانات الكبيرة جدًا فليست أسرع. وقد قاست دراسات على الفيلة الآسيوية سرعات تبلغ نحو 6 إلى 7 m/s (أي نحو 25 km/h). وحتى عند تلك السرعة، أبقت الفيلة قدمًا واحدة على الأقل ملامسة للأرض طوال الوقت، رغم أن حركة أجسامها كانت تشبه الجري. وتضع عظامها وسيقانها الضخمة الحد الأقصى، كما سيُظهر العالم الأخير.