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实验室
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微积分与概率
数学 · AP
微积分与概率
曲面、切线、黎曼和以及你可以真正掷出的骰子。
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模拟考试
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60
指南
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第一课
01 · 什么是函数?
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课程
7 个世界 · 60 节课程
世界 1 · 函数与极限
免费
从图像到微积分的边缘
01
什么是函数?
输入、输出和规则 · 6 分钟
02
函数族
直线、抛物线、波浪 · 7 分钟
03
直线的斜率
纵坐标变化量除以横坐标变化量 · 6 分钟
04
什么是极限?
逼近一个值 · 8 分钟
05
单侧极限
从左侧和右侧逼近 · 7 分钟
06
连续性
无空洞、跳跃或断裂 · 7 分钟
07
平均变化率
割线 · 7 分钟
08
瞬时变化率
当割线变为切线时 · 8 分钟
09
指数与对数
增长及其逆运算 · 8 分钟
先阅读
微积分与概率 指南
全部指南 →
3D 实验室加载中…
10
平移与缩放
变换任意图像 · 6 分钟
11
分段函数
不同区间上的不同规则 · 6 分钟
12
检查点——极限
融会贯通 · 7 分钟
世界 2 · 导数实验室
PRO
规则、切线与 3D 曲面
01
导数即斜率
每一点的 f'(x) · 7 分钟
PRO
02
幂法则
快速对多项式求导 · 7 分钟
PRO
03
曲线上的切线
实时查看斜率 · 6 分钟
PRO
04
乘积法则
对 f·g 求导 · 7 分钟
PRO
05
商法则
对 f / g 求导 · 7 分钟
PRO
06
链式法则
函数中的函数 · 8 分钟
PRO
07
高阶导数
加速度与凹凸性 · 7 分钟
PRO
08
三维中的切平面
偏导数 · 8 分钟
PRO
09
临界点
极大值、极小值、鞍点 · 7 分钟
PRO
10
相关变化率
相互关联的变化量 · 8 分钟
PRO
11
优化
最佳可能值 · 8 分钟
PRO
12
中值定理
平均与瞬时相遇 · 7 分钟
PRO
13
检查点——导数
完整的工具箱 · 6 分钟
PRO
世界 3 · 积分实验室
PRO
面积、累积与微积分基本定理
01
曲线下的面积
一种新的问题 · 7 分钟
PRO
02
黎曼和
收敛的矩形 · 8 分钟
PRO
03
定积分
和的极限 · 7 分钟
PRO
04
原函数
求导的逆运算 · 7 分钟
PRO
05
微积分基本定理
导数与积分的交汇 · 8 分钟
PRO
06
净变化量
对速率积分 · 7 分钟
PRO
07
平均值
曲线的平均高度 · 6 分钟
PRO
08
曲线间的面积
上减下 · 7 分钟
PRO
09
旋转体体积
将区域旋转成实体 · 8 分钟
PRO
10
广义积分
延伸至无穷大的面积 · 7 分钟
PRO
11
数值积分
当没有公式时 · 7 分钟
PRO
12
检查点 — 积分
掌握累积 · 6 分钟
PRO
世界 4 · 概率与分布
PRO
机会、骰子与钟形曲线
01
样本空间与事件
列举可能发生的情况 · 6 分钟
PRO
02
概率的组合
且、或、补集 · 7 分钟
PRO
03
两枚骰子的点数和
为什么 7 很特别 · 7 分钟
PRO
04
随机变量
来自随机的数字 · 7 分钟
PRO
05
期望值
长期平均值 · 7 分钟
PRO
06
方差与离散程度
分布有多宽? · 7 分钟
PRO
07
二项分布
统计成功次数 · 8 分钟
PRO
08
泊松分布
时间内的稀有事件 · 7 分钟
PRO
09
正态分布
钟形曲线 · 8 分钟
PRO
10
蒙特卡洛模拟
通过随机试验进行估算 · 7 分钟
PRO
11
大数定律
平均值趋于稳定 · 6 分钟
PRO
12
中心极限定理
为什么钟形曲线无处不在 · 8 分钟
PRO
13
检查点 — 概率
掌握概率 · 6 分钟
PRO
世界 5 · 变化的形状
PRO
阅读地形,然后找到最陡峭的路径
01
两个方向,两个斜率
在单点探测曲面 · 6 分钟
PRO
02
行走而不攀登
等高线及其法线 · 7 分钟
PRO
03
找到最陡峭的攀登路径
方向是一个单位向量 · 7 分钟
PRO
04
圆形路径上的最佳视角
约束最大值 · 8 分钟
PRO
世界 6 · 从等高线地图到地形
PRO
重塑山丘,解读它留下的地图
01
通过等高线提升山丘
PRO
02
从地图读取坡度
PRO
世界 7 · 从单位圆到正弦波
PRO
旋转角度,展开它,观察正弦和余弦的出现
01
弧度:用弧长测量角度
点 (cos θ, sin θ) · 7 分钟
PRO
02
振幅、频率和相位
匹配 y = A·sin(ωθ + φ) · 8 分钟
PRO
03
螺旋线:一条曲线中的两个图像
(cos θ, sin θ, θ) 的侧视图 · 7 分钟
PRO
04
e^(iθ) 与四分之一转速度
为什么 sin 的导数是 cos · 8 分钟
PRO
科普讲解
向量实验室
向量详解:加法、点积与叉积
了解向量如何首尾相接相加,点积如何检测直角,叉积指向何处,以及投影如何投射阴影。
阅读需时 4 分钟
科普讲解
密码与密码学实验室
经典密码:凯撒、ROT13、Atbash 和仿射
凯撒、ROT13、Atbash、仿射和关键词密码的工作原理,如何通过统计字母来破解它们,以及为什么它们在今天都不安全。
阅读需时 4 分钟
科普讲解
形状实验室
位值、分数、展开图与欧拉公式
看看积木如何展示位值,分数如何代表公平分享,展开图如何折叠成立体,以及为什么面数减棱数加顶点数总是等于 2。
阅读需时 5 分钟