Einheitszellen und Atompackung: einfache, BCC- und FCC-Kristalle

Was ist eine Elementarzelle?

Ein Kristall ist ein Muster, das sich wiederholt. Wähle einen kleinen Baustein aus, kopiere ihn immer wieder und verschiebe ihn dabei in drei Richtungen. So füllst du den Raum ohne Lücken oder Überschneidungen. Dieser Baustein ist die Elementarzelle, und das Gitter aus Wiederholungspunkten heißt Kristallgitter.

Viele Metalle verwenden Zellen in Form von Würfeln, was die Mathematik übersichtlich hält. Drei kubische Anordnungen decken das meiste ab, was du für eine Einführung brauchst:

• Kubisch primitiv (SC)
• Kubisch raumzentriert (BCC)
• Kubisch flächenzentriert (FCC)

Die Seitenlänge des Würfels wird mit a bezeichnet, und der Atomradius mit r. Fast jede Berechnung verknüpft diese beiden Größen.

Atome zählen: die Teilungsregel

Abbildungen von Elementarzellen zeigen ganze Kugeln an den Ecken, aber diese Kugeln werden mit benachbarten Zellen geteilt. Nur der Teil, der innerhalb deiner Zelle liegt, wird gezählt.

• Ein Eckenatom wird von 8 Zellen geteilt und trägt daher ⅛ bei.
• Ein Flächenzentriertes Atom wird von 2 Zellen geteilt und trägt daher ½ bei.
• Ein raumzentriertes Atom wird nicht geteilt und trägt daher 1 bei.

Addiere nun alles. Die kubisch primitive Zelle hat acht Ecken: 8 × ⅛ = 1 Atom pro Zelle. BCC fügt ein Atom in der Mitte hinzu: 8 × ⅛ + 1 = 2. FCC hat acht Ecken und sechs Flächen: 8 × ⅛ + 6 × ½ = 4.

Die Zeichnungen zeigen nur ganze Kugeln, damit du sie erkennen kannst. Für die Mathematik gilt die Zählregel.

Wo berühren sich die Atome?

Um a mit r zu verknüpfen, finde die Gerade, entlang derer sich benachbarte Atome berühren, denn dort werden die Kugeln aneinandergepresst.

• Einfach kubisch: Die Atome berühren sich entlang einer Kante, also gilt a = 2r.
• KFZ: Die Atome berühren sich entlang der Raumdiagonale. Daher gilt 4r = √3 a. Jedes Atom hat acht nächste Nachbarn.
• FFZ: Die Atome berühren sich entlang der Flächendiagonale. Daher gilt 4r = √2 a. Jedes Atom hat zwölf nächste Nachbarn.

Das Muster ist nützlich: Je mehr Nachbarn ein Atom hat, desto dichter gepackt ist die Struktur normalerweise.

Packungsgrad: Wie voll ist die Zelle?

Der Packungsanteil ist der Anteil des Zellvolumens, den die Atome einnehmen, wenn man sie als harte Kugeln betrachtet:

packing = N × (4/3)πr³ / a³

Dabei ist N die Anzahl der Atome pro Zelle. Setzt man für jede Struktur die Bedingung für den Kontakt ein, erhält man bekannte Ergebnisse:

• Einfach kubisch: etwa 52%
• KFZ: etwa 68%
• FFZ: etwa 74%

FFZ ist die dichteste regelmäßige Anordnung identischer Kugeln. Drei Viertel des Raums bestehen aus Atomen, der Rest sind Zwischenräume. Eine einfach kubische Struktur lässt fast die Hälfte des Raums ungenutzt. Deshalb verwenden nur sehr wenige Elemente diese Struktur unter normalen Bedingungen.

Denke daran: Dies ist ein Modell mit harten Kugeln. Echte Atome sind verschwommene Elektronenwolken, und Bindungen beeinflussen die Abstände. Die Zahlen beschreiben also ein idealisiertes Bild.

Warum die Packungsdichte wichtig ist.

Die Packung verbindet das mikroskopische Bild mit Dingen, die du messen kannst. Eine dichter gepackte Struktur hat bei Atomen mit ähnlicher Masse und Größe normalerweise eine höhere Dichte. Die Anzahl der Nachbarn und die Ebenen der Atome in einem Gitter beeinflussen außerdem, wie sich ein Metall verformt und wie Röntgenstrahlen daran gestreut werden. Tatsächlich werden Kristallstrukturen in echten Laboren mithilfe von Beugungsmustern gemessen.

Diese Einzelheiten brauchst du jetzt noch nicht. Die wichtigste Idee ist: Einige sorgfältig gezählte Fakten aus der Geometrie können sehr viel vorhersagen.

Zu vermeidende Fehler

• Ganze Eckatome zählen. Verwende für eine Ecke immer ⅛.
• Die falsche Kontaktgerade verwenden. Kante, Flächendiagonale und Raumdiagonale sind bei jeder Struktur unterschiedlich.
• Das Gitter mit den Atomen verwechseln. Das Gitter ist eine Menge von Punkten; Atome sitzen auf oder um diese Punkte herum.
• Packungsanteile für reale Materialien als exakt ansehen. Sie gehören zum Modell mit harten Kugeln.
• Glauben, dass kleinere gezeichnete Kugeln die Anzahl verändern. Wenn die Darstellung verkleinert wird, sind mehr Zwischenräume sichtbar, aber es gibt nicht mehr Gitterplätze.

Wie man dies im Labor untersuchen kann.

Das Kristall-Labor ist ein vereinfachtes Lernmodell mit 3D-Zellen, die du drehen und in ihrer Größe verändern kannst. Bearbeite die vier kostenlosen Lektionen in dieser Reihenfolge:

1. Acht Ecken, ein Atom für die Teilungsregel.
2. Eins in der Mitte, um ein innenzentriertes Atom hinzuzufügen.
3. Sechs geteilte Flächen für die FCC-Zählung.
4. Platz zwischen Atomen, um die Packung zu vergleichen.

Bevor du jede Lektion öffnest, sage die Anzahl der Atome pro Zelle und die Kontaktgerade voraus. Nutze dann das Modell zur Bestätigung. Falls die Bindung zwischen Atomen der Teil ist, der dir noch fehlt, behandelt das Chemie-Labor Ionen- und kovalente Bindungen.