Элементарные ячейки и упаковка атомов: простая, ОЦК и ГЦК

Что такое элементарная ячейка?

Кристалл — это закономерность, которая повторяется. Выберите небольшой блок, снова и снова копируйте его, сдвигая в трёх направлениях, и вы заполните пространство без пробелов и наложений. Этот блок называется элементарной ячейкой, а сетка повторяющихся точек — решёткой.

Во многих металлах используются ячейки в форме кубов, что упрощает вычисления. Для введения достаточно рассмотреть три кубические структуры:

• простая кубическая (SC)
• объёмно-центрированная кубическая (BCC)
• гранецентрированная кубическая (FCC)

Длина ребра куба обозначается a, а радиус атома — r. Почти каждое вычисление связывает эти две величины.

Подсчёт атомов: правило общего использования

На изображениях элементарных ячеек в углах показаны целые сферы, но эти сферы являются общими для соседних ячеек. Засчитывается только та часть, которая находится внутри вашей ячейки.

• Атом в углу является общим для 8 ячеек, поэтому вносит вклад ⅛.
• Атом в центре грани является общим для 2 ячеек, поэтому вносит вклад ½.
• Атом в центре объёма не является общим, поэтому вносит вклад 1.

Теперь сложим их. В простой кубической ячейке восемь углов: 8 × ⅛ = 1 атом на ячейку. В BCC добавляется один атом в центре: 8 × ⅛ + 1 = 2. В FCC есть восемь углов и шесть граней: 8 × ⅛ + 6 × ½ = 4.

На рисунках показаны целые сферы, чтобы вы могли их увидеть. В вычислениях используется именно правило подсчёта.

Где атомы соприкасаются?

Чтобы связать a с r, найдите линию, вдоль которой соприкасаются соседние атомы: именно там сферы прижаты друг к другу.

• Простая кубическая: атомы соприкасаются вдоль ребра, поэтому a = 2r.
• BCC: атомы соприкасаются вдоль пространственной диагонали, поэтому 4r = √3 a. У каждого атома восемь ближайших соседей.
• FCC: атомы соприкасаются вдоль диагонали грани, поэтому 4r = √2 a. У каждого атома двенадцать ближайших соседей.

Закономерность полезна: чем больше у атома соседей, тем плотнее обычно расположена структура.

Коэффициент упаковки: насколько заполнена ячейка?

Коэффициент упаковки — это доля объёма ячейки, занятая атомами, которые считаются твёрдыми сферами:

packing = N × (4/3)πr³ / a³

где N — число атомов в ячейке. Если подставить условие контакта для каждой структуры, получаются известные результаты:

• Простая кубическая: около 52%
• BCC: около 68%
• FCC: около 74%

FCC обеспечивает настолько плотную упаковку, насколько это возможно для одинаковых сфер при регулярном расположении. Три четверти пространства занимают атомы, а остальное — промежутки. Простая кубическая структура оставляет почти половину пространства пустой, поэтому в обычных условиях её используют очень немногие элементы.

Помни, что это модель твёрдых сфер. Реальные атомы похожи на размытые облака, а химические связи влияют на расстояния между ними, поэтому эти числа описывают идеализированную картину.

Почему важна упаковка

Упаковка связывает картину микромира с тем, что можно измерить. Более плотно упакованная структура обычно имеет большую плотность, если атомы имеют похожие массу и размер. Число соседей и плоскости атомов в решётке также влияют на то, как деформируется металл и как от него рассеиваются рентгеновские лучи. На самом деле именно по дифракционным картинам в настоящих лабораториях определяют структуры кристаллов.

Пока не обязательно знать все эти подробности. Главное — несколько геометрических фактов, если правильно их посчитать, позволяют предсказать многое.

Ошибки, которых стоит избегать

• Подсчёт целых угловых атомов. Всегда используй ⅛ для одного угла.
• Неправильная линия контакта. Для каждой структуры ребро, диагональ грани и диагональ тела — это разные отрезки.
• Путаница между решёткой и атомами. Решётка — это набор точек, а атомы находятся на них или вокруг них.
• Считать коэффициенты упаковки точными для реальных материалов. Они относятся к модели твёрдых сфер.
• Думать, что уменьшение нарисованных сфер меняет подсчёт. Если уменьшить изображение, видимых промежутков станет больше, но узлов решётки — нет.

Как изучить это в лаборатории

Лаборатория кристаллов — это упрощённая учебная модель с 3D-ячейками, которые можно вращать и масштабировать. Пройди четыре бесплатных урока в таком порядке:

1. Восемь углов, один атом — чтобы разобраться с правилом совместного использования.
2. Один в центре — чтобы добавить атом в центре ячейки.
3. Шесть общих граней — для подсчёта атомов в FCC-ячейке.
4. Пространство между атомами — чтобы сравнить способы упаковки.

Перед тем как открыть каждый урок, попробуй предсказать число атомов в ячейке и линию соприкосновения. Затем используй модель, чтобы проверить ответ. Если тебе не хватает знаний о связях между атомами, в Химической лаборатории ты узнаешь об ионных и ковалентных связях.