Eenheidscellen en atoompakking: eenvoudige, BCC- en FCC-kristallen

Wat is een eenheidscel?

Een kristal is een patroon dat zich herhaalt. Kies een klein blok, kopieer het steeds opnieuw door het in drie richtingen te verschuiven, en je vult de ruimte zonder gaten of overlappingen. Dat blok is de eenheidscel en het raster van herhalingspunten is het rooster.

Veel metalen gebruiken cellen in de vorm van kubussen, wat de wiskunde overzichtelijk houdt. Drie kubusvormige rangschikkingen zijn voor de meeste inleidende uitleg voldoende:

• Eenvoudige kubus (SC)
• Ruimtelijk gecentreerde kubus (BCC)
• Vlakgecentreerde kubus (FCC)

De lengte van de zijde van de kubus wordt geschreven als a en de straal van het atoom als r. Bijna elke berekening verbindt die twee met elkaar.

Atomen tellen: de deelregel

Afbeeldingen van eenheidscellen laten hele bollen op de hoeken zien, maar die bollen worden gedeeld met aangrenzende cellen. Alleen het deel dat binnen jouw cel valt, telt mee.

• Een atoom op een hoek wordt gedeeld door 8 cellen en draagt dus ⅛ bij.
• Een atoom in het middelpunt van een vlak wordt gedeeld door 2 cellen en draagt dus ½ bij.
• Een atoom in het middelpunt van de cel wordt niet gedeeld en draagt dus 1 bij.

Tel ze nu bij elkaar op. Eenvoudig kubisch heeft acht hoeken: 8 × ⅛ = 1 atoom per cel. BCC voegt één atoom in het midden toe: 8 × ⅛ + 1 = 2. FCC heeft acht hoeken en zes vlakken: 8 × ⅛ + 6 × ½ = 4.

De tekeningen laten hele bollen zien, zodat je ze goed kunt zien. Bij de berekeningen gebruiken we de telregel.

Waar raken atomen elkaar?

Om a aan r te koppelen, zoek je de lijn waarlangs aangrenzende atomen elkaar raken. Daar worden de bollen namelijk tegen elkaar aangedrukt.

• Eenvoudig kubisch: atomen raken elkaar langs een ribbe, dus a = 2r.
• BCC: atomen raken elkaar langs de lichaamsdiagonaal, dus 4r = √3 a. Elk atoom heeft acht naaste buren.
• FCC: atomen raken elkaar langs een vlakdiagonaal, dus 4r = √2 a. Elk atoom heeft twaalf naaste buren.

Het patroon is handig: hoe meer buren een atoom heeft, hoe dichter de structuur meestal opeengepakt is.

Vulppercentage: hoe vol is de cel?

Het vulppercentage is het deel van het volume van de cel dat door atomen wordt ingenomen, waarbij we de atomen beschouwen als harde bollen:

packing = N × (4/3)πr³ / a³

waarbij N het aantal atomen per cel is. Als je voor elke structuur de voorwaarde voor contact invult, krijg je bekende resultaten:

• Eenvoudig kubisch: ongeveer 52%
• BCC: ongeveer 68%
• FCC: ongeveer 74%

FCC is de dichtst mogelijke opeenpakking van gelijke bollen in een regelmatige ordening. Driekwart van de ruimte bestaat uit atomen en de rest uit openingen. Een eenvoudig kubische structuur verspilt bijna de helft van de ruimte. Daarom gebruiken maar heel weinig elementen deze structuur onder normale omstandigheden.

Onthoud dat dit een model met harde bollen is. Echte atomen zijn vage wolken en bindingen beïnvloeden de afstanden. De getallen beschrijven dus een geïdealiseerd beeld.

Waarom opeenpakking belangrijk is

Pakking verbindt het microscopische beeld met dingen die je kunt meten. Een dichter gepakte structuur geeft over het algemeen een hogere dichtheid voor atomen met een vergelijkbare massa en grootte. Het aantal buren en de vlakken van atomen in een rooster hebben ook invloed op hoe een metaal vervormt en hoe röntgenstralen ermee verstrooien. Diffractiepatronen zijn in echte laboratoria dan ook de manier waarop kristalstructuren worden gemeten.

Je hebt die details nu nog niet nodig. Het belangrijkste idee is dat je met een paar meetkundige feiten, die je zorgvuldig telt, veel kunt voorspellen.

Veelgemaakte fouten

• Hele hoekatomen tellen. Gebruik voor een hoek altijd ⅛.
• De verkeerde contactlijn gebruiken. De ribbe, vlakdiagonaal en lichaamsdiagonaal verschillen per structuur.
• Het rooster verwarren met de atomen. Het rooster is een verzameling punten; atomen liggen op of rond die punten.
• Pakfracties als exact beschouwen voor echte materialen. Ze horen bij het model met harde bollen.
• Denken dat kleinere getekende bollen de telling veranderen. Als je de weergave verkleint, zijn er meer zichtbare open plekken, maar niet meer roosterpunten.

Zo onderzoek je dit in het lab

Het Crystal Lab is een vereenvoudigd onderwijsmodel met 3D-cellen die je kunt draaien en waarvan je de schaal kunt aanpassen. Werk de vier gratis lessen in deze volgorde door:

1. Acht hoeken, één atoom voor de deelregel.
2. Eén in het midden om een lichaamsgecentreerd atoom toe te voegen.
3. Zes gedeelde vlakken voor de FCC-telling.
4. Ruimte tussen atomen om de pakking te vergelijken.

Voorspel voordat je elke les opent het aantal atomen per cel en de contactlijn. Gebruik daarna het model om je voorspelling te controleren. Als bindingen tussen atomen het onderdeel zijn dat je mist, behandelt het Chemistry Lab ionbindingen en atoombindingen.