自由落体与抛体运动的工作原理：运动学

自由落体：速度的均匀增加

当只有重力作用在物体上时，我们称其运动为自由落体。在地球表面附近，向下的加速度约为 9.8 m/s²，记作 g。这意味着一个被扔下的球，每秒速度大约增加 9.8 米/秒。

因此，从静止开始，t 秒后的速度为

v = g t

一秒后球的速度约为 9.8 m/s，两秒后约为 19.6 m/s，依此类推。将速度对时间作图，你会得到一条过原点的直线。这条直线的斜率就是加速度，这就是为什么速度图是直线意味着加速度恒定。

为什么距离的情况不同

速度随时间线性增长，但距离不是。球每一刻都在变快，所以每一秒走过的距离都比上一秒多。把这些不断增长的步长加起来，得到

d = ½ g t²

距离与时间的平方成正比。第一秒内球下落约 4.9 米。两秒内它下落的距离是四倍，约 19.6 米。距离对时间的图像是一条越来越陡的曲线，其在任意时刻的陡峭程度就是速度。

更重的物体下落得更快吗？

日常经验说“是”：锤子比羽毛落得快。但羽毛输给了空气，而不是因为它轻。空气会对物体产生阻力，对于宽大蓬松的物体来说，这种阻力影响巨大。

如果没有空气，所有物体都以相同的加速度下落。重力对质量更大的物体拉力更大，但质量更大的物体也更难加速，这两个效应恰好抵消。伽利略几个世纪前就通过推理得出了这一观点，后来宇航员在月球上同时扔下锤子和羽毛，验证了这一点。

实验室使用的是这一现象的理想版本：无空气阻力，g 恒定。这是一个简化的教学模型，对于短距离下落的致密物体来说，它非常有效。

竖直向上抛

把球向上扔，重力并不关心球朝哪个方向运动。它仍然以 9.8 m/s² 向下拉。所以球在上升过程中减速，在最高点瞬间停止，然后在下落过程中加速。

这种对称性带来两个有趣的事实：

• 上升回到抛出高度所需的时间，与下落回到该高度所需的时间完全相同，
• 球回到你手中时的速度大小与离开时相同，只是方向相反。

获得的高度取决于初速度 v，公式为 h = v² / (2g)。如果初速度加倍，球会爬高四倍，因为速度是平方关系。

抛体：同时进行的两种运动

现在把球斜着扔出去。轨迹是一条曲线，但秘诀在于停止思考这条曲线，而是将运动分解为两个独立的部分。

• 水平方向： 没有侧向推力（忽略空气阻力），因此水平速度保持不变。
• 垂直方向： 重力作用与自由落体完全相同，以 g 向下拉。

这两部分互不影响。从桌上滚落的球和从同一高度直接掉落的球会同时落地，尽管前者还向侧面移动。侧向速度只决定它落地的距离；下落时间仅由高度决定。

分解发射速度

以速度 v 和角度 θ 进行的斜向发射，其水平分量为 v cos θ，垂直分量为 v sin θ。只有垂直分量对抗重力，因此它控制飞行时间和最大高度。在最高点，垂直速度为零，但水平速度不变，这就是为什么球在最高点时仍在向侧面移动。

射程与 45° 法则

在水平地面上，抛体覆盖的水平距离为

R = v² sin(2θ) / g

角度仅通过 sin(2θ) 起作用，当 2θ 为 90° 时，该函数值最大，因此 45° 能产生最远的射程。角度之和为 90° 的情况（如 30° 和 60°）会落在同一位置：角度较小的飞得快且平，角度较大的飞得慢且高。

速度比角度更重要。因为 v 是平方项，发射速度加倍会使射程变为四倍。一旦引入空气阻力和发射高度，实际投掷会偏离这一简洁法则，但两个独立运动的概念仍是基础。

常见误区

• “球保留了来自你手的力。” 释放后，只有重力（和少量空气阻力）在起作用。球继续运动是因为它具有速度，而不是因为储存了推力。
• “在弧线顶部，球没有加速度。” 其垂直速度瞬间为零，但加速度仍然是向下的 9.8 m/s²。
• “重的东西下落得更快。” 在真空中并非如此。空气阻力是唯一的区别。
• “速度和加速度是同一回事。” 速度是你移动有多快；加速度是速度变化的快慢。在投掷的顶部，球没有垂直速度，但有相当大的加速度。

如何在实验室中探索

“力与运动”实验室运行真实的物理引擎，因此你先预测，然后观察结果。在免费世界中的良好路径如下：

1. 从自由落体开始，观察速度以恒定速率增加。
2. 在下落距离中检查平方定律。
3. 在水平发射中加入侧向运动，然后在抛体射程中以角度发射。
4. 用质量无关紧要测试伽利略的观点。

实验室还有一个关于漂浮和下沉的免费课程，漂浮、下沉还是悬浮？，如果你想看另一种力的作用。请记住，模拟是一个简化模型，具有恒定的重力且无空气阻力，因此它清晰地展示了核心行为，而不是匹配真实的体育场投掷。