Hoe vrije val en worpbeweging werken: kinematica

Vrije val: een constante toename van de snelheid

Wanneer er alleen zwaartekracht op een voorwerp werkt, noemen we die beweging vrije val. Dicht bij het aardoppervlak is de versnelling naar beneden ongeveer 9,8 m/s², geschreven als g. Dat betekent dat een vallende bal elke seconde ongeveer 9.8 meter per seconde sneller gaat.

De snelheid na t seconden, wanneer de bal vanuit stilstand begint, is dus

v = g t

Na één seconde beweegt de bal met ongeveer 9.8 m/s, na twee seconden met ongeveer 19.6 m/s, enzovoort. Als je de snelheid uitzet tegen de tijd, krijg je een rechte lijn door de oorsprong. De helling van die lijn is de versnelling. Daarom betekent een rechte snelheidsgrafiek dat de versnelling constant is.

Waarom afstand een ander verhaal is

De snelheid groeit mee met de tijd, maar de afstand niet. De bal beweegt elk moment sneller, dus elke seconde legt hij meer afstand af dan de vorige. Als je al die steeds grotere stappen optelt, krijg je

d = ½ g t²

De afstand hangt af van de tijd in het kwadraat. In de eerste seconde valt een bal ongeveer 4.9 m. In twee seconden is hij vier keer zo ver gevallen: ongeveer 19.6 m. Een grafiek van de afstand tegen de tijd is een kromme die steeds steiler wordt. De helling op elk moment is de snelheid.

Valt iets zwaarders sneller?

Volgens de dagelijkse ervaring wel: een hamer verslaat een veer. Maar de veer valt langzamer door de lucht, niet omdat hij licht is. Lucht duwt terug tegen een voorwerp, en die duw is heel belangrijk voor iets breeds en pluizigs.

Zonder lucht valt elk voorwerp met dezelfde versnelling. De zwaartekracht trekt harder aan een grotere massa, maar een grotere massa is ook moeilijker te versnellen. Die twee effecten heffen elkaar precies op. Galileo kwam eeuwen geleden al logisch tot dit idee. Later lieten astronauten het op de Maan zien door een hamer en een veer tegelijk te laten vallen.

Het practicum gebruikt de ideale versie hiervan: geen luchtweerstand en een constante g. Dat is een vereenvoudigd onderwijsmodel en het werkt heel goed voor compacte, dichte voorwerpen die over een korte afstand vallen.

Recht omhoog gooien

Gooi een bal omhoog en de zwaartekracht trekt zich niets aan van de richting waarin de bal beweegt. De zwaartekracht trekt nog steeds naar beneden met 9,8 m/s². De bal vertraagt dus tijdens het omhooggaan, staat bovenaan een ogenblik stil en versnelt daarna tijdens het omlaaggaan.

Uit deze symmetrie volgen twee mooie feiten:

• de tocht omhoog duurt precies even lang als de tocht terug naar de hoogte vanwaar je de bal hebt gelanceerd, en
• de bal komt terug in je hand met dezelfde snelheid als waarmee hij vertrok, maar in de tegenovergestelde richting.

De gewonnen hoogte hangt af van de lanceersnelheid v en is h = v² / (2g). Verdubbel je de lanceersnelheid, dan komt de bal vier keer zo hoog, omdat de snelheid in het kwadraat voorkomt.

Projectielen: twee bewegingen tegelijk

Gooi de bal nu onder een hoek. Het pad is een kromme, maar het geheim is dat je moet ophouden met denken aan de kromme en de beweging moet opsplitsen in twee onafhankelijke delen.

• Horizontaal: er duwt niets zijwaarts (als we luchtweerstand negeren), dus de horizontale snelheid blijft constant.
• Verticaal: de zwaartekracht werkt precies zoals bij een vrije val en trekt met g naar beneden.

Deze twee delen beïnvloeden elkaar niet. Een bal die van een tafel rolt en een bal die je vanaf dezelfde hoogte gewoon laat vallen, raken op hetzelfde moment de vloer, ook al beweegt de ene bal ondertussen zijwaarts. De zijwaartse snelheid bepaalt alleen hoe ver de bal landt; de valtijd wordt alleen bepaald door de hoogte.

De lanceersnelheid opsplitsen

Een lancering onder een hoek met snelheid v en hoek θ heeft een horizontaal deel v cos θ en een verticaal deel v sin θ. Alleen het verticale deel werkt de zwaartekracht tegen en bepaalt dus de vliegtijd en de piekhoogte. Helemaal bovenaan is de verticale snelheid nul, maar de horizontale snelheid is onveranderd. Daarom beweegt de bal op het hoogste punt nog steeds zijwaarts.

Bereik en de 45°-regel

Op een vlakke ondergrond is de horizontale afstand die een projectiel aflegt

R = v² sin(2θ) / g

De hoek komt alleen voor in sin(2θ), en die functie is het grootst wanneer 2θ 90° is. Daarom zorgt 45° voor het grootste bereik. Hoeken die samen 90° zijn, zoals 30° en 60°, komen op dezelfde plek neer: de lagere hoek vliegt snel en vlak, de hogere hoek vliegt langzaam en hoog.

Snelheid is belangrijker dan de hoek. Omdat v in het kwadraat staat, wordt het bereik vier keer zo groot als je de lanceersnelheid verdubbelt. Echte worpen wijken van deze eenvoudige regel af zodra luchtweerstand en de lanceerhoogte een rol spelen, maar het idee van twee onafhankelijke bewegingen blijft de basis.

Veelvoorkomende misvattingen

• "De bal houdt een kracht van je hand." Na het loslaten werken alleen de zwaartekracht (en een beetje lucht) op de bal. De bal blijft bewegen door zijn snelheid, niet door een opgeslagen duw.
• "Bovenaan de boog versnelt de bal niet." Zijn verticale snelheid is daar een moment nul, maar de versnelling is nog steeds 9,8 m/s² omlaag.
• "Zware dingen vallen sneller." In een vacuüm is dat niet zo. Luchtweerstand is het enige verschil.
• "Snelheid en versnelling zijn hetzelfde." Snelheid is hoe snel je beweegt; versnelling is hoe snel de snelheid verandert. Een bal bovenaan een worp heeft geen verticale snelheid, maar wel veel versnelling.

Zo onderzoek je dit in het lab

Het lab Krachten en beweging gebruikt een echte physics-engine, dus je doet eerst een voorspelling en bekijkt daarna het resultaat. Een goede route door de eerste gratis wereld:

1. Begin met Vrije val om te zien hoe de snelheid gelijkmatig toeneemt.
2. Controleer de kwadratische wet in Hoe ver valt het?.
3. Voeg een zijwaartse beweging toe in Horizontale lancering en schiet daarna onder een hoek in Bereik van een projectiel.
4. Test het idee van Galileo met Massa maakt niet uit.

Het lab heeft ook een gratis les over zweven en zinken: Drijven, zinken of blijven zweven?, als je een andere kracht aan het werk wilt zien. Onthoud dat de simulatie een vereenvoudigd model is met constante zwaartekracht en zonder luchtweerstand. Daardoor laat het model het belangrijkste gedrag duidelijk zien, in plaats van precies een echte worp in een stadion na te bootsen.