Vand og luft

I en flaskeraket lagrer luften energien, og vandet er det, der slynges ud. Den komprimerede luft over vandet trykker på det, og vandet sprøjter ud af dysen. Når vandet er væk, suser den lille smule luft, der er tilbage, også ud, men luft er så let, at det kun giver et kort, svagt stød.

Trykket her måles som manometertryk: hvor meget det ligger over trykket i luften omkring os. I dette forsøg er enheden bar: 1 bar = 100 000 pascal, omtrent det samme som atmosfærens tryk. Trykforskellen mellem indersiden og ydersiden af flasken er ΔP.

Hvor hurtigt forlader vandet flasken? Bernoullis princip siger, at trykforskellen bliver til vandets bevægelsesenergi:

½ ρ v² = ΔP, så v = √(2 ΔP / ρ)

hvor ρ er vandets densitet, 1000 kg/m³. Stødet er den impuls, der slynges ud hvert sekund, og det er (masse pr. sekund) × (hastighed). Den masse, der forlader flasken pr. sekund, er ρ A v, hvor A er arealet af dyseåbningen. Så:

T = ρ A v × v = ρ A v² = 2 ΔP × A

Et gennemregnet eksempel med simulerede tal: En dyse, der er 22 mm bred, har et areal på A = π × (0,011 m)² ≈ 3,8 × 10⁻⁴ m². Ved et simuleret manometertryk på 4 bar (4 × 10⁵ Pa) er hastigheden √(2 × 4 × 10⁵ ÷ 1000) ≈ 28 m/s, og stødet er 2 × 4 × 10⁵ × 3,8 × 10⁻⁴ ≈ 300 N. Dette er stødet i det første øjeblik. Det falder, efterhånden som luften udvider sig, og trykket falder.

To regler følger af formlerne. En fordobling af trykket får udgangshastigheden til at blive ganget med √2 ≈ 1,41, ikke med 2. En fordobling af dysearealet ved samme tryk fordobler stødet, men vandet kommer også ud med dobbelt så stor volumen pr. tid, så trykket falder hurtigere.

Nu kommer det egentlige spørgsmål: Hvor meget af flasken skal være fyldt med vand? Det er en afvejning.

• Meget lidt vand. Vandet er væk næsten med det samme. Der er ikke så meget masse at kaste ud, så der overføres kun lidt impuls til flasken.
• Meget vand. Flasken er tung, så det samme stød giver mindre acceleration. Der er også kun lidt luft tilbage, og en lille luftvolumen mister hurtigt trykket, når vandet løber ud, så skubbet forsvinder tidligt.
• Midt imellem. Der er nok vand til at overføre impuls og nok luft til at holde trykket oppe et stykke tid.

En simpel model viser det tydeligt. Modellen brugte en 2-liters flaske, en 22 mm dyse, en tom masse på 0,1 kg, et simuleret tryk på 4 bar og luftmodstand, og den så bort fra det korte skub fra luft alene til sidst. Den opnåede højde sammenlignet med den bedste fyldning så omtrent sådan ud:

• 10 procent vand: omkring to tredjedele af den bedste højde.
• Omkring en tredjedel til 40 procent vand: den bedste højde.
• 60 procent vand: omkring 80 procent af den bedste.
• 70 procent vand: mindre end halvdelen.
• 90 procent vand: den forlader næsten ikke affyringsrampen.

Dette er resultatet af en simpel simulering, ikke en naturlov. En rigtig flaske, dyse og tryk kan flytte den bedste fyldning en smule op eller ned. Pointen er kurvens form: både for lidt og for meget er dårligt, og det bedste ligger midt imellem.