Vatten och luft

I en flaskraket är det luften som lagrar energin, och det är vattnet som kastas ut. Den komprimerade luften ovanför vattnet trycker på det, och vattnet sprutar ut genom munstycket. När vattnet är slut rusar den lilla mängd luft som finns kvar också ut, men luft är så lätt att det bara ger en kort och svag knuff.

Trycket här mäts som övertryck: hur mycket det ligger över trycket i luften omkring oss. I den här laborationen är enheten bar: 1 bar = 100 000 pascal, ungefär atmosfärens tryck. Tryckskillnaden mellan flaskans insida och utsidan är ΔP.

Hur snabbt lämnar vattnet flaskan? Bernoullis princip säger att tryckskillnaden står för vattnets rörelseenergi:

½ ρ v² = ΔP, alltså v = √(2 ΔP / ρ)

Där ρ är vattnets densitet, 1000 kg/m³. Dragkraften är den rörelsemängd som kastas ut varje sekund, vilket är (massa per sekund) × (hastighet). Massan som lämnar flaskan per sekund är ρ A v, där A är arean på munstyckets öppning. Alltså:

T = ρ A v × v = ρ A v² = 2 ΔP × A

Ett räkneexempel med simulerade värden: ett munstycke som är 22 mm brett har arean A = π × (0,011 m)² ≈ 3,8 × 10⁻⁴ m². Vid ett simulerat övertryck på 4 bar (4 × 10⁵ Pa) är hastigheten √(2 × 4 × 10⁵ ÷ 1000) ≈ 28 m/s och dragkraften 2 × 4 × 10⁵ × 3,8 × 10⁻⁴ ≈ 300 N. Detta är dragkraften i det första ögonblicket. Den minskar när luften expanderar och trycket sjunker.

Två regler följer av formlerna. Om trycket fördubblas blir utgångshastigheten √2 ≈ 1,41 gånger så hög, inte 2 gånger. Om munstyckets area fördubblas vid samma tryck fördubblas dragkraften, men vattenflödet ut blir också dubbelt så stort, så trycket sjunker snabbare.

Nu kommer den riktiga frågan: hur mycket av flaskan ska vara fylld med vatten? Det är en avvägning.

• Mycket lite vatten. Vattnet tar slut nästan direkt. Det finns inte mycket massa att kasta ut, så flaskan får liten rörelsemängd.
• Mycket vatten. Flaskan är tung, så samma dragkraft ger mindre acceleration. Det finns också lite luft kvar, och en liten luftvolym förlorar trycket snabbt när vattnet lämnar flaskan, så skjutsen avtar tidigt.
• Någonstans däremellan. Det finns tillräckligt med vatten för att föra över rörelsemängd och tillräckligt med luft för att hålla trycket uppe en stund.

En enkel modell visar detta tydligt. Modellen använde en 2-litersflaska, ett munstycke på 22 mm, en tom massa på 0,1 kg, ett simulerat tryck på 4 bar och luftmotstånd. Den bortsåg från den korta skjutsen med bara luft i slutet. Höjden som nåddes, jämfört med den bästa fyllnadsgraden, blev ungefär så här:

• 10 procent vatten: ungefär två tredjedelar av den bästa höjden.
• Cirka en tredjedel till 40 procent vatten: den bästa höjden.
• 60 procent vatten: ungefär 80 procent av den bästa höjden.
• 70 procent vatten: mindre än hälften.
• 90 procent vatten: den lämnar knappt uppskjutningsrampen.

Detta är resultatet av en enkel simulering, inte en naturlag. En riktig flaska, ett riktigt munstycke och ett riktigt tryck gör att den bästa fyllnadsgraden kan bli lite högre eller lägre. Lärdomen är kurvans form: både för lite och för mycket är dåligt, och det bästa finns i mitten.