जल और वायु

बोतल वाले रॉकेट में वायु ऊर्जा संचित करती है, और बाहर फेंका जाने वाला पदार्थ पानी होता है। पानी के ऊपर की संपीड़ित वायु उसे धकेलती है और पानी नोज़ल से बाहर निकलता है। जब पानी खत्म हो जाता है, तब बची हुई थोड़ी-सी वायु भी तेज़ी से बाहर निकलती है, लेकिन वायु इतनी हल्की होती है कि इससे बस एक छोटा, कमज़ोर धक्का मिलता है।

यहाँ दाब को गेज दाब के रूप में मापा जाता है: यानी हमारे आसपास की वायु के दाब से यह कितना अधिक है। इस प्रयोगशाला में इकाई bar है: 1 bar = 100 000 pascals, यानी वायुमंडल के दाब के लगभग बराबर। बोतल के अंदर और बाहर के दाब का अंतर ΔP है।

जल कितनी तेज़ी से बाहर निकलता है? बर्नौली का सिद्धांत कहता है कि दाब का अंतर जल की गति की ऊर्जा के लिए पर्याप्त होता है:

½ ρ v² = ΔP, इसलिए v = √(2 ΔP / ρ)

जहाँ ρ जल का घनत्व है, 1000 kg/m³। प्रणोद हर सेकंड बाहर फेंके गए संवेग के बराबर होता है, जो (प्रति सेकंड द्रव्यमान) × (चाल) है। हर सेकंड बाहर निकलने वाला द्रव्यमान ρ A v है, जहाँ A नोज़ल के खुले हिस्से का क्षेत्रफल है। इसलिए:

T = ρ A v × v = ρ A v² = 2 ΔP × A

अनुकरण की गई संख्याओं का एक उदाहरण: 22 mm चौड़ी नोज़ल का क्षेत्रफल A = π × (0.011 m)² ≈ 3.8 × 10⁻⁴ m² है। 4 bar (4 × 10⁵ Pa) के अनुकरण किए गए गेज दाब पर, चाल √(2 × 4 × 10⁵ ÷ 1000) ≈ 28 m/s और प्रणोद 2 × 4 × 10⁵ × 3.8 × 10⁻⁴ ≈ 300 N होगा। यह पहले क्षण का प्रणोद है। वायु के फैलने और दाब के कम होने पर यह घटता जाता है।

सूत्रों से दो नियम सामने आते हैं। दाब को दोगुना करने पर बाहर निकलने वाली चाल √2 ≈ 1.41 गुना होती है, 2 गुना नहीं। समान दाब पर नोज़ल का क्षेत्रफल दोगुना करने पर प्रणोद दोगुना हो जाता है, लेकिन पानी भी आयतन की दर से दोगुनी तेज़ी से निकलता है, इसलिए दाब जल्दी कम हो जाता है।

अब असली सवाल: बोतल में कितना पानी होना चाहिए? यह एक संतुलन का मामला है।

• बहुत कम पानी। पानी लगभग तुरंत खत्म हो जाता है। फेंकने के लिए द्रव्यमान बहुत कम होता है, इसलिए बोतल को मिलने वाला संवेग भी कम होता है।
• बहुत सारा पानी। बोतल भारी हो जाती है, इसलिए समान प्रणोद से कम त्वरण मिलता है। इसके अलावा, थोड़ी ही वायु बचती है और पानी निकलते ही कम वायु-आयतन दाब को जल्दी खो देता है, इसलिए धक्का जल्दी कम हो जाता है।
• इन दोनों के बीच। इतना पानी होता है कि संवेग ले जा सके और इतनी वायु भी होती है कि कुछ समय तक दाब बना रहे।

A simple model shows this clearly. The model used a 2-litre bottle, a 22 mm nozzle, an empty mass of 0.1 kg, a simulated pressure of 4 bar and air drag, and it ignored the short air-only push at the end. The height reached, compared with the best fill, came out roughly like this:

• 10 percent water: about two thirds of the best height.
• About a third to 40 percent water: the best height.
• 60 percent water: about 80 percent of the best.
• 70 percent water: less than half.
• 90 percent water: it barely leaves the launcher.

This is a result of a simple simulation, not a law of nature. A real bottle, nozzle and pressure move the best fill up or down a little. The lesson is the shape of the curve: too little and too much are both bad, and the best is in the middle.