Water en lucht

In een flessenraket slaat de lucht de energie op, en wordt het water naar buiten geworpen. Samengeperste lucht boven het water duwt erop, waardoor het water uit het mondstuk spuit. Als het water op is, stroomt de kleine hoeveelheid lucht die nog over is ook naar buiten, maar lucht is zo licht dat dit maar een korte, zwakke duw geeft.

De druk wordt hier gemeten als overdruk: hoeveel hoger die is dan de druk van de lucht om ons heen. In dit practicum is de eenheid de bar: 1 bar = 100 000 pascal, ongeveer de druk van de atmosfeer. Het drukverschil tussen de binnenkant van de fles en de buitenlucht is ΔP.

Hoe snel verlaat het water de fles? Volgens het principe van Bernoulli betaalt het drukverschil voor de bewegingsenergie van het water:

½ ρ v² = ΔP, dus v = √(2 ΔP / ρ)

waarbij ρ de dichtheid van water is, 1000 kg/m³. De stuwkracht is de impuls die elke seconde naar buiten wordt geworpen, oftewel (massa per seconde) × (snelheid). De massa die per seconde naar buiten stroomt is ρ A v, waarbij A de oppervlakte van de opening van het mondstuk is. Dus:

T = ρ A v × v = ρ A v² = 2 ΔP × A

Een uitgewerkt voorbeeld met gesimuleerde getallen: een mondstuk met een diameter van 22 mm heeft een oppervlakte A = π × (0,011 m)² ≈ 3,8 × 10⁻⁴ m². Bij een gesimuleerde overdruk van 4 bar (4 × 10⁵ Pa) is de snelheid √(2 × 4 × 10⁵ ÷ 1000) ≈ 28 m/s en is de stuwkracht 2 × 4 × 10⁵ × 3,8 × 10⁻⁴ ≈ 300 N. Dit is de stuwkracht op het eerste moment. De stuwkracht neemt af als de lucht uitzet en de druk daalt.

Uit de formules volgen twee regels. Als je de druk verdubbelt, wordt de uitstroomsnelheid vermenigvuldigd met √2 ≈ 1,41, en dus niet met 2. Als je de oppervlakte van de straalpijp verdubbelt bij dezelfde druk, verdubbelt de stuwkracht, maar het water stroomt ook twee keer zo snel weg, waardoor de druk eerder daalt.

Nu de echte vraag: hoeveel water moet er in de fles zitten? Het is een afweging.

• Heel weinig water. Het water is bijna meteen op. Er is niet veel massa om weg te stoten, dus er wordt maar weinig impuls aan de fles gegeven.
• Veel water. De fles is zwaar, dus dezelfde stuwkracht zorgt voor minder versnelling. Er is ook weinig lucht over en een klein luchtvolume verliest snel druk terwijl het water wegstroomt, waardoor de duw vroeg afneemt.
• Ertussenin. Er is genoeg water om impuls mee te geven en genoeg lucht om de druk een tijdje hoog te houden.

Een eenvoudig model laat dit duidelijk zien. In het model werd een fles van 2 liter gebruikt, met een straalpijp van 22 mm, een lege massa van 0,1 kg, een gesimuleerde druk van 4 bar en luchtweerstand. De korte duw door alleen lucht aan het einde werd genegeerd. De bereikte hoogte, vergeleken met de beste vulling, was ongeveer als volgt:

• 10 procent water: ongeveer twee derde van de beste hoogte.
• Ongeveer een derde tot 40 procent water: de beste hoogte.
• 60 procent water: ongeveer 80 procent van de beste hoogte.
• 70 procent water: minder dan de helft.
• 90 procent water: de fles komt nauwelijks van de lanceerder.

Dit is het resultaat van een eenvoudige simulatie, geen natuurwet. Een echte fles, straalpijp en druk kunnen de beste vulling een beetje hoger of lager maken. De les zit in de vorm van de kromme: te weinig en te veel zijn allebei slecht, en het beste zit ertussenin.