Вода и воздух

В ракете из бутылки воздух накапливает энергию, а вода выталкивается наружу. Сжатый воздух над водой давит на неё, и вода вырывается из сопла. Когда вода заканчивается, оставшийся воздух тоже устремляется наружу, но воздух настолько лёгкий, что создаёт лишь короткий и слабый толчок.

Здесь давление измеряется как избыточное давление: насколько оно выше давления окружающего нас воздуха. В этой лабораторной работе используется единица измерения бар: 1 бар = 100 000 паскалей — это примерно давление атмосферы. Разность давления внутри бутылки и снаружи — это ΔP.

С какой скоростью вылетает вода? Принцип Бернулли говорит, что разница давлений превращается в энергию движения воды:

½ ρ v² = ΔP, поэтому v = √(2 ΔP / ρ)

где ρ — плотность воды, 1000 kg/m³. Тяга — это импульс, выбрасываемый каждую секунду, то есть (масса в секунду) × (скорость). Масса, вылетающая за секунду, равна ρ A v, где A — площадь отверстия сопла. Поэтому:

T = ρ A v × v = ρ A v² = 2 ΔP × A

Пример с условными числами: сопло диаметром 22 mm имеет площадь A = π × (0,011 m)² ≈ 3,8 × 10⁻⁴ m². При условном избыточном давлении 4 bar (4 × 10⁵ Pa) скорость равна √(2 × 4 × 10⁵ ÷ 1000) ≈ 28 m/s, а тяга — 2 × 4 × 10⁵ × 3,8 × 10⁻⁴ ≈ 300 N. Это тяга в первый момент. Она уменьшается по мере расширения воздуха и падения давления.

Из формул следуют два правила. Удвоение давления увеличивает скорость вылета в √2 ≈ 1,41 раза, а не в 2 раза. Удвоение площади сопла при том же давлении удваивает тягу, но за то же время выходит вдвое больший объём воды, поэтому давление падает быстрее.

Теперь главный вопрос: какая часть бутылки должна быть заполнена водой? Это компромисс.

• Очень мало воды. Вода заканчивается почти сразу. Массы, которую можно выбросить, немного, поэтому бутылке передаётся небольшой импульс.
• Много воды. Бутылка тяжёлая, поэтому при той же тяге ускорение меньше. Воздуха тоже остаётся мало, а небольшой объём воздуха быстро теряет давление по мере выхода воды, поэтому толчок быстро ослабевает.
• Что-то среднее. Воды достаточно, чтобы передать импульс, и воздуха достаточно, чтобы некоторое время поддерживать давление.

Простая модель ясно это показывает. В модели использовались бутылка объёмом 2 литра, сопло диаметром 22 мм, масса пустой бутылки 0,1 кг, смоделированное давление 4 бар и сопротивление воздуха; короткий толчок только за счёт воздуха в конце не учитывался. Получившаяся высота по сравнению с лучшим результатом наполнения была примерно такой:

• 10 процентов воды: около двух третей максимальной высоты.
• Около трети — 40 процентов воды: максимальная высота.
• 60 процентов воды: около 80 процентов максимальной высоты.
• 70 процентов воды: меньше половины.
• 90 процентов воды: ракета едва отрывается от стартовой установки.

Это результат простого моделирования, а не закон природы. В реальной бутылке, с реальным соплом и давлением оптимальный объём воды может немного измениться в любую сторону. Главное — форма кривой: и слишком маленькое, и слишком большое количество воды дают плохой результат, а лучше всего — средний вариант.