水和空气

在瓶式火箭中，空气储存能量，而水是被抛出的物质。水上方的压缩空气对水施加压力，水从喷嘴喷出。当水喷完后，剩下的少量空气也会冲出，但空气很轻，只能提供短暂且微弱的推力。

这里的压力以表压衡量：即比周围大气压高出的部分。本实验室中的单位是巴：1 巴 = 100 000 帕斯卡，大约等于大气压。瓶内外的压力差为 ΔP。

水的喷出速度是多少？伯努利原理指出，压力差转化为水的动能：

½ ρ v² = ΔP，因此 v = √(2 ΔP / ρ)

其中 ρ 是水的密度，为 1000 kg/m³。推力是每秒抛出的动量，即（每秒质量）×（速度）。每秒流出的质量为 ρ A v，其中 A 是喷嘴开口面积。因此：

T = ρ A v × v = ρ A v² = 2 ΔP × A

一个使用模拟数值的计算示例：直径 22 mm 的喷嘴，面积 A = π × (0.011 m)² ≈ 3.8 × 10⁻⁴ m²。在模拟表压为 4 巴（4 × 10⁵ Pa）时，速度为 √(2 × 4 × 10⁵ ÷ 1000) ≈ 28 m/s，推力为 2 × 4 × 10⁵ × 3.8 × 10⁻⁴ ≈ 300 N。这是初始时刻的推力。随着空气膨胀和压力下降，推力也会减小。

根据公式可以得出两条规律。压力加倍时，喷出速度乘以 √2 ≈ 1.41，而不是乘以 2。喷嘴面积加倍（压力不变）时，推力加倍，但水的体积流量也加倍，因此压力下降得更快。

现在来看真正的问题：瓶子里应该装多少水？这是一个权衡。

• 水很少。 水几乎瞬间喷完。抛出的质量不多，因此传递给瓶子的动量很小。
• 水很多。 瓶子很重，同样的推力产生的加速度较小。而且剩下的空气很少，小体积的空气在水流出时压力下降很快，因此推力会很快减弱。
• 介于两者之间。 有足够的水来携带动量，也有足够的空气来维持压力一段时间。

一个简单的模型清楚地展示了这一点。该模型使用了一个 2 升的瓶子、一个 22 毫米的喷嘴、0.1 千克的空瓶质量、4 巴的模拟气压以及空气阻力，并忽略了最后短暂的纯空气推力阶段。与最佳注水量相比，达到的高度大致如下：

• 10% 的水：约为最佳高度的三分之二。
• 约三分之一到 40% 的水：最佳高度。
• 60% 的水：约为最佳高度的 80%。
• 70% 的水：不到一半。
• 90% 的水：几乎无法离开发射架。

这是简单模拟的结果，而非自然法则。真实的瓶子、喷嘴和气压会使最佳注水量略有上下浮动。关键在于曲线的形状：太少和太多都不好，最佳值在中间。