水と空気

ペットボトルロケットでは、エネルギーを蓄えるのは空気で、外へ噴き出すのは水です。水面の上にある圧縮空気が水を押し、水はノズルから噴き出します。水がなくなると、残った少量の空気も勢いよく噴き出しますが、空気はとても軽いため、短く弱い推進力しか生みません。

ここでの圧力はゲージ圧で測ります。これは、周囲の空気の圧力よりどれだけ高いかを表します。この実験では単位にbarを使います: 1 bar = 100 000 pascals。これは大気の圧力とほぼ同じです。ボトルの内側と外側の圧力差はΔPです。

水はどのくらい速く出ていくのでしょうか？ ベルヌーイの原理によると、圧力差が水の運動エネルギーを生み出します。

½ ρ v² = ΔP, したがって v = √(2 ΔP / ρ)

ここで、ρは水の密度で、1000 kg/m³です。推力は、1秒あたりに外へ放出される運動量で、（1秒あたりの質量）×（速さ）です。1秒あたりに出ていく質量はρ A vです。Aはノズルの開口部の面積です。したがって、

T = ρ A v × v = ρ A v² = 2 ΔP × A

シミュレーションの数値を使った計算例です。直径22 mmのノズルの面積は A = π × (0.011 m)² ≈ 3.8 × 10⁻⁴ m² です。シミュレーション上のゲージ圧が4 bar（4 × 10⁵ Pa）のとき、速さは √(2 × 4 × 10⁵ ÷ 1000) ≈ 28 m/s、推力は 2 × 4 × 10⁵ × 3.8 × 10⁻⁴ ≈ 300 N です。これは最初の瞬間の推力です。空気が広がって圧力が下がるにつれて、推力も小さくなります。

公式から、2つの決まりがわかります。圧力を2倍にすると、飛び出す速さは2倍ではなく、√2 ≈ 1.41倍になります。同じ圧力でノズルの面積を2倍にすると推力は2倍になりますが、水は体積として2倍の速さで流れ出るので、圧力も早く下がります。

では、本当の問題です。ボトルにはどれくらい水を入れるべきでしょうか？これはバランスの問題です。

• 水がとても少ない。 水はほとんどすぐになくなります。押し出す質量が少ないので、ボトルに与えられる運動量も少なくなります。
• 水が多い。 ボトルが重くなるので、同じ推力でも加速度は小さくなります。また、残る空気が少なく、水が出ていくにつれて少ない空気の体積では圧力がすぐに下がるため、押す力も早く弱まります。
• その中間。 運動量を運ぶのに十分な水があり、しばらく圧力を保つのに十分な空気もあります。

簡単なモデルを使うと、このことがよく分かります。このモデルでは、2リットルのボトル、22 mmのノズル、空の状態での質量0.1 kg、シミュレーション上の圧力4 bar、空気抵抗を使い、最後に空気だけが短時間押す力は無視しました。最適な水量のときと比べた到達した高さは、およそ次のようになりました。

• 水が10％：最適な高さの約3分の2。
• 水が約3分の1から40％：最も高い。
• 水が60％：最適な高さの約80％。
• 水が70％：半分未満。
• 水が90％：発射台からほとんど離れない。

これは簡単なシミュレーションの結果であり、自然の法則ではありません。実際のボトル、ノズル、圧力によって、最適な水量は少し増えたり減ったりします。大切なのは曲線の形です。水が少なすぎても多すぎてもよくなく、真ん中が最適です。