Woda i powietrze

W rakiecie butelkowej powietrze przechowuje energię, a woda jest wyrzucana. Sprężone powietrze nad wodą naciska na nią, a woda tryska z dyszy. Gdy woda się skończy, pozostała odrobina powietrza także szybko uchodzi, ale powietrze jest tak lekkie, że daje tylko krótkie, słabe pchnięcie.

Ciśnienie jest tu mierzone jako ciśnienie manometryczne: o ile przekracza ciśnienie otaczającego nas powietrza. W tym laboratorium jednostką jest bar: 1 bar = 100 000 paskali, czyli w przybliżeniu ciśnienie atmosfery. Różnica ciśnień między wnętrzem butelki a otoczeniem to ΔP.

Jak szybko wypływa woda? Zasada Bernoulliego mówi, że różnica ciśnień dostarcza energii ruchu wody:

½ ρ v² = ΔP, więc v = √(2 ΔP / ρ)

gdzie ρ to gęstość wody, 1000 kg/m³. Ciąg to pęd wyrzucany w każdej sekundzie, czyli (masa na sekundę) × (prędkość). Masa wypływająca w ciągu sekundy to ρ A v, gdzie A to pole powierzchni otworu dyszy. Zatem:

T = ρ A v × v = ρ A v² = 2 ΔP × A

Przykład z wykorzystaniem symulowanych liczb: dysza o szerokości 22 mm ma pole powierzchni A = π × (0,011 m)² ≈ 3,8 × 10⁻⁴ m². Przy symulowanym ciśnieniu manometrycznym 4 bar (4 × 10⁵ Pa) prędkość wynosi √(2 × 4 × 10⁵ ÷ 1000) ≈ 28 m/s, a ciąg to 2 × 4 × 10⁵ × 3,8 × 10⁻⁴ ≈ 300 N. To ciąg w pierwszej chwili. Zmniejsza się, gdy powietrze się rozpręża, a ciśnienie spada.

Z wzorów wynikają dwie zasady. Podwojenie ciśnienia zwiększa prędkość wylotową √2 ≈ 1,41 razy, a nie 2 razy. Podwojenie pola powierzchni dyszy przy tym samym ciśnieniu podwaja ciąg, ale woda wypływa też dwa razy szybciej pod względem objętości, więc ciśnienie spada wcześniej.

Teraz najważniejsze pytanie: ile wody powinno być w butelce? To kwestia kompromisu.

• Bardzo mało wody. Woda znika niemal od razu. Nie ma dużo masy do wyrzucenia, więc butelka otrzymuje niewielki pęd.
• Dużo wody. Butelka jest ciężka, więc ten sam ciąg daje mniejsze przyspieszenie. Jest też mało powietrza, a mała objętość powietrza szybko traci ciśnienie, gdy woda wypływa, więc ciąg szybko słabnie.
• Ilość pośrodku. Wody jest wystarczająco dużo, aby nadać pęd, a powietrza wystarczająco dużo, aby przez jakiś czas utrzymać ciśnienie.

Prosty model dobrze to pokazuje. W modelu użyto butelki o objętości 2-litre, dyszy 22 mm, masy pustej butelki 0,1 kg, symulowanego ciśnienia 4 bar oraz oporu powietrza; pominięto krótki ciąg wywołany samym powietrzem na końcu. Osiągnięta wysokość, w porównaniu z najlepszym napełnieniem, wyglądała mniej więcej tak:

• 10 procent wody: około dwóch trzecich najlepszej wysokości.
• Około jednej trzeciej do 40 procent wody: najlepsza wysokość.
• 60 procent wody: około 80 procent najlepszej wysokości.
• 70 procent wody: mniej niż połowa.
• 90 procent wody: ledwo opuszcza wyrzutnię.

To wynik prostej symulacji, a nie prawo natury. Prawdziwa butelka, dysza i ciśnienie mogą nieco przesunąć najlepszy poziom napełnienia w górę lub w dół. Najważniejszy jest kształt krzywej: zarówno za mało, jak i za dużo to źle, a najlepsza ilość jest pośrodku.