Amplitude og den cirkulære fejl

Pendulloven er en approksimation ved små vinkler. Den er kun helt præcis, hvis udsvinget er meget lille. I et rigtigt pendul bliver den kraft, der bringer loddet tilbage mod midten, svagere i forhold til afstanden, når udsvinget bliver bredere, så et bredt udsving tager lidt længere tid end et smalt.

Hvis udsvinget når en vinkel θ₀ på hver side af den lodrette linje (amplituden, i radianer), er den rigtige periode længere end småvinkelværdien T₀ med cirka:

T ≈ T₀ × (1 + θ₀² / 16)

Det betyder, at et ur, hvis pendul svinger bredere, går langsommere. Effekten kaldes den cirkulære fejl, fordi loddet bevæger sig langs en cirkel (en bue) og ikke langs en ret linje. Et perfekt isokront pendul, hvis periode er den samme ved enhver amplitude, ville ikke have nogen cirkulær fejl. Rigtige penduler er kun næsten isok rone og kun ved små udsving.

Hvor stor er effekten? Omregn først vinklen til radianer (10° = 0,1745 rad).

At et ur »taber 165 s pr. dag« betyder blot, at pendulet bruger 0.19 % for lang tid, og at et døgn har 86 400 s: 86 400 × 0,0019 ≈ 165 s. Brede udsving er tydeligvis dårlige.

Derfor er urpenduler lavet til kun at svinge gennem få grader på hver side (cirka 2 til 4 grader er typisk). Men her er den vigtige detalje. En konstant fejl kan fjernes, fordi du kan justere længden, indtil uret viser den rigtige tid ved sin normale amplitude. Den virkelige fjende er en amplitude, der ændrer sig. Hvis amplituden ændrer sig fra 3° til 2°, når urets drivkraft varierer, ændres gangen med cirka 8 s pr. dag, og ingen indstilling af længden kan rette det. Målet med et godt design er at holde amplituden konstant og gøre fejlen lille og flad omkring arbejdspunktet.

Urmagerne ledte også efter en smartere løsning. Huygens beviste, at et pendullod, der svinger langs en cykloide (den kurve, som et punkt på et rullende hjul følger), er perfekt isokront. Han monterede buede metalkindstykker ved ophænget, så pendulsnoren snoede sig op ad dem, og loddet fulgte en cykloidelignende bane. Det virkede i princippet, men kindstykkerne skabte friktion og deres egne fejl, og urmagerne fandt det enklere at bruge en lille amplitude og et godt gangværk. I den næste verden kan du se det gangværk, der gjorde dette bedst: hvilegangen.

Det, du skal huske, er, at amplituden ændrer ganghastigheden, og at et godt ur er designet til at holde den lille og stabil.