Ampiezza ed errore circolare

La legge del pendolo è un'approssimazione per piccoli angoli. È esatta solo se l'oscillazione è minima. In un pendolo reale, la spinta che riporta il peso al centro diventa più debole, rispetto alla distanza, quando l'oscillazione si allarga, quindi un'oscillazione ampia dura leggermente più a lungo di una stretta.

Se l'oscillazione raggiunge un angolo θ₀ da ciascun lato della verticale (l'ampiezza, in radianti), il periodo reale è più lungo del valore per piccoli angoli T₀ di circa:

T ≈ T₀ × (1 + θ₀² / 16)

Questo significa che un orologio il cui pendolo oscilla maggiormente andrà più lentamente. L'effetto si chiama errore circolare, perché il peso si muove lungo una circonferenza (un arco) e non lungo una retta. Un pendolo perfettamente isocrono, il cui periodo è uguale a ogni ampiezza, non avrebbe alcun errore circolare. Quelli reali lo sono solo quasi, e soltanto per oscillazioni ridotte.

Quanto è grande l'effetto? Prima converti l'angolo in radianti (10° = 0,1745 rad).

Dire che un orologio "perde 165 s al giorno" significa semplicemente che il pendolo impiega 0,19 % di tempo in più e che un giorno ha 86 400 s: 86 400 × 0,0019 ≈ 165 s. Le oscillazioni ampie sono chiaramente dannose.

Perciò i pendoli degli orologi sono progettati per oscillare di pochi gradi soltanto da ciascun lato (in genere circa 2 to 4 gradi). Ma ecco il punto più sottile. Un errore costante può essere eliminato, perché puoi regolare la lunghezza finché l'orologio indica l'ora corretta alla sua ampiezza abituale. Il vero problema è un'ampiezza variabile. Se l'ampiezza passa da 3° a 2° quando varia la forza motrice dell'orologio, il ritmo cambia di circa 8 s al giorno e nessuna regolazione della lunghezza può risolvere il problema. L'obiettivo di un buon progetto è mantenere costante l'ampiezza e rendere l'errore ridotto e stabile intorno al punto di funzionamento.

Gli orologiai cercarono anche una soluzione più ingegnosa. Huygens dimostrò che un pendolo che oscilla lungo una cicloide (la curva tracciata da un punto su una ruota che rotola) è perfettamente isocrono. Fissò delle "guance" metalliche curve ai lati della sospensione, in modo che il filo del pendolo vi si avvolgesse contro e il pendolo seguisse un percorso simile a una cicloide. In teoria funzionava, ma le guance introducevano attrito ed errori propri, così gli orologiai trovarono più semplice usare una piccola ampiezza e uno scappamento efficace. Nel prossimo mondo vedrai lo scappamento che svolgeva meglio questo compito: lo scappamento ad arresto.

Il fatto da ricordare è che l'ampiezza è una quantità che cambia il ritmo e che un buon orologio è progettato per mantenerla piccola e stazionaria.