Амплитуда и круговая ошибка

Закон маятника — это приближение для малых углов. Он точен только при очень маленьком размахе. В реальном маятнике сила, возвращающая грузик к середине, становится слабее относительно расстояния по мере увеличения размаха, поэтому широкий размах длится немного дольше, чем узкий.

Если размах достигает угла θ₀ с каждой стороны от вертикали (амплитуда, в радианах), истинный период больше значения для малых углов T₀ примерно на:

T ≈ T₀ × (1 + θ₀² / 16)

Это означает, что часы с маятником, который качается шире, идут медленнее. Этот эффект называют круговой ошибкой, потому что грузик движется по окружности (дуге), а не по прямой линии. Идеально изохронный маятник, у которого период одинаков при любой амплитуде, не имел бы круговой ошибки. В реальности маятники лишь почти изохронны — и только при малых размахах.

Насколько велик этот эффект? Сначала переведите угол в радианы (10° = 0,1745 rad).

Фраза «часы отстают на 165 s в день» просто означает, что маятнику требуется на 0,19 % больше времени, а в сутках 86 400 s: 86 400 × 0,0019 ≈ 165 s. Широкий размах явно вреден.

Поэтому маятники часов делают так, чтобы они качались всего на несколько градусов с каждой стороны (обычно примерно от 2 до 4 градусов). Но здесь есть важный нюанс. Постоянную ошибку можно устранить, потому что длину можно отрегулировать так, чтобы часы показывали правильное время при обычной амплитуде. Настоящий враг — это изменяющаяся амплитуда. Если амплитуда изменяется с 3° до 2° из-за колебаний силы, приводящей часы в движение, их ход меняется примерно на 8 s в день, и никакая регулировка длины не сможет это исправить. Цель хорошей конструкции — поддерживать постоянную амплитуду и сделать ошибку маленькой и почти неизменной в рабочем диапазоне.

Часовые мастера также искали более умное решение. Гюйгенс доказал, что груз, который движется по циклоиде (кривой, которую описывает точка на катящемся колесе), совершает идеально изохронные колебания. Он установил рядом с подвесом изогнутые металлические «щёки», чтобы нить маятника огибала их, а груз двигался по траектории, похожей на циклоиду. В принципе это работало, но сами «щёки» создавали трение и дополнительные ошибки, поэтому часовые мастера решили, что проще использовать малую амплитуду и хороший спусковой механизм. В следующем мире ты увидишь спусковой механизм, который лучше всего справлялся с этой задачей, — мёртвый ход.

Важно помнить: амплитуда влияет на ход часов, поэтому хорошие часы устроены так, чтобы она оставалась малой и стабильной.