진폭과 원형 오차

진자의 법칙은 작은 각도 근사입니다. 진자가 아주 조금만 흔들릴 때만 정확합니다. 실제 진자에서는 추가 가운데로 돌아오게 하는 힘이 흔들림의 폭이 커질수록 거리에 비해 상대적으로 약해지므로, 크게 흔들릴 때는 작게 흔들릴 때보다 시간이 조금 더 오래 걸립니다.

진자가 수직선의 양쪽에서 θ₀의 각도까지 흔들린다면(진폭, 라디안 단위), 실제 주기는 작은 각도에서의 값 T₀보다 다음과 같이 더 길어집니다.

T ≈ T₀ × (1 + θ₀² / 16)

즉, 진자가 더 크게 흔들리는 시계는 느리게 갑니다. 이 효과를 원형 오차라고 부르는 이유는 추가 직선이 아니라 원을 따라(호를 그리며) 움직이기 때문입니다. 진폭이 얼마이든 주기가 같은 완벽하게 등시성인 진자라면 원형 오차가 없을 것입니다. 실제 진자는 거의 등시성이지만, 작은 진폭에서만 그렇습니다.

효과는 얼마나 클까요? 먼저 각도를 라디안으로 변환하세요(10° = 0.1745 rad).

시계가 "하루에 165 s 늦어진다"는 말은 진자가 0.19 %만큼 너무 오래 걸린다는 뜻입니다. 하루는 86 400 s이므로, 86 400 × 0.0019 ≈ 165 s입니다. 크게 흔들리는 것은 분명 좋지 않습니다.

그래서 시계의 진자는 양쪽에서 몇 도 정도만 흔들리도록 만듭니다(보통 약 2~4도가 일반적입니다). 하지만 여기에는 중요한 점이 있습니다. 일정한 오차는 없앨 수 있습니다. 시계가 평소의 진폭에서 정확한 시간을 표시하도록 길이를 조절하면 되기 때문입니다. 진짜 문제는 변하는 진폭입니다. 시계를 움직이는 힘이 변하면서 진폭이 3°에서 2°로 줄어들면, 시계의 속도가 하루에 대략 8 s만큼 변하고, 진자의 길이를 어떻게 조절해도 이 문제를 해결할 수 없습니다. 좋은 설계의 목표는 진폭을 일정하게 유지하고, 작동 지점 주변에서 오차가 작으며 거의 변하지 않도록 만드는 것입니다.

시계 제작자들은 더 영리한 해결책도 찾아보았습니다. Huygens는 진자가 사이클로이드(구르는 바퀴 위의 한 점이 그리는 곡선)를 따라 흔들리면 완벽하게 등시성을 갖는다는 것을 증명했습니다. 그는 매달린 줄이 곡선에 닿아 감기고 진자가 사이클로이드와 비슷한 경로를 따라가도록, 매달림 장치 옆에 휘어진 금속 "판"을 달았습니다. 원리상으로는 잘 작동했지만, 이 판은 자체적으로 마찰과 오차를 만들어 냈고, 시계 제작자들은 작은 진폭과 좋은 탈진기를 사용하는 편이 더 간단하다는 것을 알아냈습니다. 다음 월드에서는 이를 가장 잘 해낸 탈진기인 데드비트를 볼 수 있습니다.

기억해야 할 사실은 진폭이 속도를 바꾸는 양이며, 좋은 시계는 진폭을 작고 일정하게 유지하도록 설계된다는 것입니다.