振幅と円誤差

振り子の法則は小角近似です。振れがごく小さいときにだけ正確です。実際の振り子では、おもりを中央に戻す力は、振れが大きくなるほど距離に対して弱くなるため、大きな振れは小さな振れより少し長い時間がかかります。

振れが鉛直線の両側で角度 θ₀（ラジアン単位の振幅）に達すると、真の周期は小角近似での値 T₀ より、次の分だけ長くなります。

T ≈ T₀ × (1 + θ₀² / 16)

つまり、振り子の振れが大きい時計ほど、進み方が遅くなります。この効果は円弧誤差と呼ばれます。おもりが直線ではなく円（円弧）に沿って動くためです。どの振幅でも周期が同じ完全な等時性の振り子なら、円弧誤差はありません。実際の振り子は完全に等時性ではなく、小さな振れのときにだけ、ほぼ等時性になります。

この効果はどれくらい大きいのでしょうか。まず角度をラジアンに変換します（10° = 0.1745 rad）。

時計が「1日あたり165 s遅れる」というのは、振り子にかかる時間が0.19 %長くなるという意味です。1日は86 400 sなので、86 400 × 0.0019 ≈ 165 sとなります。大きな振れが明らかによくないことが分かります。

そのため、時計の振り子は片側につき数度だけ振れるように作られます（通常は約2～4度）。しかし、ここに微妙なポイントがあります。一定の誤差は取り除けます。時計が通常の振幅で正しい時刻を示すように、長さを調整できるからです。本当の問題は、変化する振幅です。時計を動かす力が変化して振幅が3°から2°にずれると、進む速さは1日あたりおよそ8 s変わり、長さをどのように設定しても直せません。優れた設計の目標は、振幅を一定に保ち、動作点の周辺で誤差を小さく、かつほぼ一定にすることです。

時計職人たちは、もっと賢い解決策も探しました。ホイヘンスは、サイクロイド（転がる車輪上の点が描く曲線）に沿って振れる振り子のおもりが、完全に等時性を持つことを証明しました。彼は、振り子の糸がその曲面に沿って巻き付き、おもりがサイクロイドに似た道筋をたどるように、吊り下げ部分の両側に曲がった金属製の「ほお板」を取り付けました。原理上はうまくいきましたが、ほお板自体が摩擦と誤差を生み出したため、時計職人たちは、小さい振幅と優れた脱進機を使うほうが簡単だと考えました。次のワールドでは、これを最もうまく実現した脱進機、デッドビート脱進機を見てみましょう。

覚えておくべきことは、振幅は速さを変える量であり、よい時計は振幅を小さく安定させるように設計されているということです。