Työntövoima

Holvikaari vie kuorman alas kahdelle jalalleen, mutta tässä on yksi ongelma: jalat työntyvät ulospäin alaspäin suuntautuvan voiman lisäksi. Ajattele kahta ihmistä, jotka nojaavat toisiaan vasten jalat erillään. Pari pysyy pystyssä vain, jos lattia estää jalkoja liukumasta erilleen. Holvikaari toimii samalla tavalla. Kummankin jalan sivusuuntaista työntöä kutsutaan vaakasuoraksi työntövoimaksi, H.

Voit selvittää sen lyhyellä tasapainotarkastelulla. Oletetaan symmetrinen holvikaari, jonka jänneväli on L ja nousu (korkeus) f, ja johon kohdistuu kuorma w jokaista vaakasuuntaista metriä kohti. Kummankin tuen pystysuora reaktio on wL ÷ 2. Katkaise holvikaari ylhäältä (lakipisteestä) ja tarkastele vasenta puoliskoa. Laske momentit lakipisteen suhteen: pystysuora reaktio wL ÷ 2 vaikuttaa vaakasuuntaisen etäisyyden L ÷ 2 päässä, puolikas kuorma wL ÷ 2 vaikuttaa etäisyydellä L ÷ 4, ja työntövoima H vaikuttaa korkeudella f lakipisteen alapuolella. Tasapainosta saadaan

H = w · L² ÷ (8 · f)

Laskuesimerkki (oletetut luvut). Holvikaari kattaa jännevälin L = 8 m ja kantaa kuorman w = 20 kN/m. Kun korkeus on f = 2 m:

• Kumpikin kanta kantaa pystysuoran voiman wL ÷ 2 = 80 kN.
• Työntövoima on H = 20 × 8² ÷ (8 × 2) = 80 kN.
• Kummankin kannan resultantti on √(80² + 80²) ≈ 113 kN, ja se osoittaa 45° alaspäin ja ulospäin.

Muutetaan nyt vain korkeutta. Kun se puolitetaan arvoon f = 1 m, työntövoima kaksinkertaistuu arvoon 160 kN. Kun se kaksinkertaistetaan arvoon f = 4 m, työntövoima puolittuu arvoon 40 kN. Pystysuora voima pysyy koko ajan 80 kN:nä. Siispä mitä loivempi holvikaari on, sitä voimakkaammin se työntää tukiaan sivusuunnassa, ja tasaisen palkkimaisen holvikaaren rajalla (f → 0) työntövoimasta tulee valtava. Siksi hyvin loiva holvikaari tarvitsee erittäin vahvat tukimuurit.

Tämä selittää myös, miksi suippokaarista oli apua keskiajan rakentajille. Jänneväliltään L olevan puoliympyrän korkeus on aina L ÷ 2. Suippokaaren voi tehdä halutessaan korkeammaksi tai matalammaksi, ja erikorkuisille jänneväleille voi antaa saman korkeuden. Korkea suippokaari työntää vähemmän sivusuunnassa ja ohjaa kuormansa jyrkemmin alaspäin.

Mikä pysäyttää työntövoiman? Tässä on neljä klassista ratkaisua:

• Massiiviset tukimuurit tai seinät. Roomalaiset tynnyriholvit lepäsivät hyvin paksujen seinien varassa, ja seinän paino kallistaa voimalinjaa alaspäin kohti maata.
• Tukipilarit. Ulkopuolelle lisättyä muurausta siinä kohdassa, johon työntövoima saapuu (goottilaiset rakentajat kehittivät tästä lentävän tukikaaren World 3:ssa).
• Sidetanko. Kaaren kaksi kantaa yhdistävä vetotanko tai palkki, kuin jousen jänne. Sidos ottaa työntövoiman vastaan vetona, joten perustuksiin kohdistuu vain pystysuora kuorma. Sidetankoja käytetään paljon pylväskäytävissä ja monien vanhojen rakennusten holvikaarissa.
• Kallio. Kallioisessa rotkossa oleva kivikaari voi työntää suoraan kallioon.

Jos tuet liikkuvat vähänkin erilleen (maa painuu tai seinä kallistuu), holvikaari painuu, työntövoima kasvaa ja halkeamat avautuvat. Monet raunioituneet holvikaaret sortuivat, koska niiden tukimuurit pettivät – ei siksi, että itse holvikaari olisi ollut liian heikko.