Empuxo

Um arco leva uma carga até seus dois apoios, mas há um detalhe: os apoios são empurrados para fora e para baixo. Pense em duas pessoas encostadas uma na outra, com os pés afastados. A dupla só fica em pé se o chão impedir que os pés deslizem para os lados. Com um arco, acontece a mesma coisa. O empurrão lateral em cada apoio é chamado de empuxo horizontal, H.

Você pode encontrá-lo com um breve cálculo de equilíbrio. Considere um arco simétrico de vão L e altura f, carregando uma carga w por metro horizontal. As duas reações verticais são wL ÷ 2 cada uma. Corte o arco no topo (a coroa) e observe a metade esquerda. Calcule os momentos em relação à coroa: a reação vertical wL ÷ 2 atua a uma distância horizontal L ÷ 2, a meia carga wL ÷ 2 atua em L ÷ 4, e o empuxo H atua a uma altura f abaixo da coroa. O equilíbrio dá

H = w · L² ÷ (8 · f)

Um exemplo resolvido (com números supostos). Um arco tem vão L = 8 m e suporta w = 20 kN/m. Com uma altura de f = 2 m:

• Cada apoio recebe uma força vertical wL ÷ 2 = 80 kN.
• O empuxo é H = 20 × 8² ÷ (8 × 2) = 80 kN.
• A resultante em cada apoio é √(80² + 80²) ≈ 113 kN, apontando 45° para baixo e para fora.

Agora mude apenas a altura. Reduza-a pela metade, para f = 1 m, e o empuxo dobrará para 160 kN. Dobre-a para f = 4 m, e o empuxo cairá pela metade, para 40 kN. A força vertical permanece em 80 kN durante todo o tempo. Portanto, quanto mais plano o arco, mais forte ele empurra seus apoios para os lados e, no limite de um arco plano parecido com uma viga (f → 0), o empuxo se torna enorme. É por isso que um arco muito plano precisa de contrafortes muito resistentes.

Esse também é o motivo pelo qual arcos ogivais ajudaram os construtores medievais. Um semicírculo de vão L tem uma altura fixa de L ÷ 2. Um arco ogival pode ser feito mais alto ou mais baixo conforme a necessidade, e arcos com vãos diferentes podem receber a mesma altura. Um arco ogival alto empurra menos para os lados e direciona sua carga mais verticalmente para baixo.

O que impede o empuxo? Há quatro respostas clássicas:

• Contrafortes ou paredes maciças. As abóbadas de berço romanas se apoiavam em paredes muito espessas, e o peso da parede inclina a linha de força para baixo, em direção ao solo.
• Contrafortes. Alvenaria extra adicionada do lado de fora, no ponto onde chega o empuxo (os construtores góticos desenvolveram isso na forma do contraforte voador, no Mundo 3).
• Um tirante. Uma barra ou viga sob tensão unindo os dois pés, como a corda de um arco. O tirante absorve o empuxo como uma tração, de modo que as fundações sentem apenas a carga vertical. Tirantes são comuns em arcadas e nos arcos de muitos edifícios antigos.
• Rocha. Um arco de pedra em um desfiladeiro rochoso pode empurrar diretamente contra a rocha.

Se os apoios se afastarem mesmo que um pouco (o solo cede ou uma parede se inclina), o arco abaixa, o empuxo vai para cima e surgem rachaduras. Muitos arcos em ruínas falharam porque seus apoios cederam, não porque o próprio arco era fraco.