Тяга

Арка передаёт нагрузку вниз на две опоры, но есть один нюанс: опоры выталкиваются не только вниз, но и наружу. Представь двух людей, которые прислонились друг к другу, расставив ноги. Они не упадут только в том случае, если пол не даст их ногам разъехаться. С аркой происходит то же самое. Боковая сила, действующая на каждую опору, называется горизонтальной тягой, H.

Её можно найти с помощью короткого расчёта. Возьмём симметричную арку с пролётом L и подъёмом (высотой) f, на которую действует нагрузка w на каждый горизонтальный метр. Две вертикальные реакции равны wL ÷ 2 каждая. Разрежем арку в верхней точке (замке) и рассмотрим левую половину. Возьмём моменты относительно верхней точки: вертикальная реакция wL ÷ 2 действует на горизонтальном расстоянии L ÷ 2, половина нагрузки wL ÷ 2 действует на расстоянии L ÷ 4, а тяга H действует на высоте f ниже верхней точки. Условие равновесия даёт

H = w · L² ÷ (8 · f)

Пример расчёта (условные числа). Пролёт арки равен L = 8 m, а нагрузка — w = 20 kN/m. При подъёме f = 2 m:

• На каждую опору действует вертикальная сила wL ÷ 2 = 80 kN.
• Тяга равна H = 20 × 8² ÷ (8 × 2) = 80 kN.
• Результирующая сила на каждой опоре равна √(80² + 80²) ≈ 113 kN и направлена под углом 45° вниз и наружу.

Теперь изменим только подъём. Уменьшим его вдвое, до f = 1 m, и тяга увеличится вдвое — до 160 kN. Увеличим его вдвое, до f = 4 m, и тяга уменьшится вдвое — до 40 kN. Вертикальная сила всё время остаётся равной 80 kN. Значит, чем более плоская арка, тем сильнее она толкает опоры в стороны, а в пределе плоской арки, похожей на балку (f → 0), тяга становится огромной. Поэтому очень плоской арке нужны очень прочные опоры.

Вот почему стрельчатые арки помогали средневековым строителям. Полукруглая арка с пролётом L имеет фиксированную высоту L ÷ 2. Стрельчатую арку можно сделать выше или ниже, а аркам с разными пролётами можно придать одинаковую высоту. Высокая стрельчатая арка слабее давит в стороны и направляет нагрузку более круто вниз.

Что останавливает тягу? Есть четыре классических ответа:

• Массивные опоры или стены. Римские цилиндрические своды опирались на очень толстые стены, и вес стены наклоняет линию действия силы вниз, к земле.
• Контрфорсы. Дополнительная кладка снаружи, в месте приложения тяги (готические строители развили эту идею в аркбутан — об этом в Мире 3).
• Стяжка. Натяжной стержень или балка, соединяющая две опоры, как тетива лука. Стяжка воспринимает тягу как растяжение, поэтому фундаменты ощущают только вертикальную нагрузку. Стяжки часто встречаются в аркадах и арках многих старых зданий.
• Скала. Каменная арка в скалистом ущелье может передавать давление прямо в скалу.

Если опоры раздвигаются хотя бы немного (грунт оседает, стена наклоняется), арка опускается, тяга возрастает, и появляются трещины. Многие разрушенные арки обрушились потому, что их опоры не выдержали, а не потому, что сама арка была слишком слабой.