Stuwkracht

Een boog brengt een belasting naar zijn twee voetpunten, maar er is een addertje onder het gras: de voetpunten worden zowel naar buiten als naar beneden geduwd. Denk aan twee mensen die met hun voeten uit elkaar tegen elkaar leunen. Het tweetal blijft alleen overeind als de vloer voorkomt dat hun voeten uit elkaar schuiven. Bij een boog werkt het net zo. De zijwaartse duw bij elk voetpunt heet de horizontale stuwkracht, H.

Je kunt die berekenen met een korte evenwichtsanalyse. Neem een symmetrische boog met overspanning L en stijging (hoogte) f, die een belasting w per horizontale meter draagt. De twee verticale reacties zijn elk wL ÷ 2. Snijd de boog bovenaan (bij de kruin) door en kijk naar de linkerhelft. Bereken de momenten rond de kruin: de verticale reactie wL ÷ 2 werkt op een horizontale afstand L ÷ 2, de halve belasting wL ÷ 2 werkt op L ÷ 4 en de stuwkracht H werkt op een hoogte f onder de kruin. Uit het evenwicht volgt

H = w · L² ÷ (8 · f)

Een uitgewerkt voorbeeld (aangenomen getallen). Een boog overspant L = 8 m en draagt w = 20 kN/m. Met een pijlhoogte van f = 2 m:

• Elke voet draagt een verticale kracht van wL ÷ 2 = 80 kN.
• De stuwkracht is H = 20 × 8² ÷ (8 × 2) = 80 kN.
• De resultante bij elke voet is √(80² + 80²) ≈ 113 kN, gericht onder een hoek van 45° naar beneden en naar buiten.

Verander nu alleen de pijlhoogte. Halveer die naar f = 1 m en de stuwkracht verdubbelt naar 160 kN. Verdubbel die naar f = 4 m en de stuwkracht halveert naar 40 kN. De verticale kracht blijft steeds 80 kN. Dus hoe vlakker de boog, hoe harder hij zijwaarts tegen zijn steunpunten duwt, en in de limiet van een vlakke, balkachtige boog (f → 0) wordt de stuwkracht enorm. Daarom heeft een zeer vlakke boog heel sterke landhoofden nodig.

Dit is ook de reden waarom spitsbogen middeleeuwse bouwers hielpen. Een halve cirkel met overspanning L heeft een vaste pijlhoogte van L ÷ 2. Een spitsboog kan naar wens hoger of lager worden gemaakt, en bogen met verschillende overspanningen kunnen dezelfde hoogte krijgen. Een hoge spitsboog duwt minder zijwaarts en leidt zijn belasting steiler naar beneden.

Wat houdt de stuwkracht tegen? Er zijn vier klassieke antwoorden:

• Zware landhoofden of muren. Romeinse tongewelven rustten op zeer dikke muren. Het gewicht van de muur laat de krachtlijn naar beneden, richting de grond, hellen.
• Steunberen. Extra metselwerk dat aan de buitenkant wordt toegevoegd op de plek waar de stuwkracht aankomt (gotische bouwers ontwikkelden dit in Wereld 3 tot de luchtboog).
• Een trekstang. Een trekstang of balk die de twee voetpunten verbindt, zoals het koord van een boog. De trekstang neemt de stuwkracht op als trekkracht, zodat de funderingen alleen verticale belasting voelen. Trekstangen komen vaak voor in arcades en in de bogen van veel oude gebouwen.
• Rots. Een stenen boog in een rotsachtige kloof kan de kracht rechtstreeks op de rots overbrengen.

Als de steunpunten zelfs maar een beetje uit elkaar bewegen (de grond zakt, een muur helt), zakt de boog, gaat de stuwkracht omhoog en ontstaan er scheuren. Veel vervallen bogen bezweken omdat hun landhoofden het begaven, niet omdat de boog zelf te zwak was.