Empuje

Un arco transmite una carga hacia abajo hasta sus dos apoyos, pero hay un detalle: los apoyos son empujados hacia afuera además de hacia abajo. Imagina a dos personas que se apoyan la una en la otra con los pies separados. El par se mantiene en pie solo si el suelo impide que sus pies se deslicen hacia afuera. Un arco es igual. El empuje lateral en cada apoyo se llama empuje horizontal, H.

Puedes calcularlo con un breve equilibrio. Toma un arco simétrico de luz L y flecha (altura) f, que soporta una carga w por metro horizontal. Las dos reacciones verticales son wL ÷ 2 cada una. Corta el arco en la parte superior (la clave) y mira la mitad izquierda. Toma momentos respecto a la clave: la reacción vertical wL ÷ 2 actúa a una distancia horizontal L ÷ 2, la mitad de la carga wL ÷ 2 actúa en L ÷ 4, y el empuje H actúa a una altura f por debajo de la clave. El equilibrio da

H = w · L² ÷ (8 · f)

Un ejemplo resuelto (números supuestos). Un arco tiene una luz de L = 8 m y soporta w = 20 kN/m. Con una flecha de f = 2 m:

• Cada apoyo soporta una fuerza vertical de wL ÷ 2 = 80 kN.
• El empuje es H = 20 × 8² ÷ (8 × 2) = 80 kN.
• La resultante en cada apoyo es √(80² + 80²) ≈ 113 kN, apuntando 45° hacia abajo y hacia afuera.

Ahora cambia solo la flecha. Si la reduces a la mitad, f = 1 m, el empuje se duplica a 160 kN. Si la duplicas, f = 4 m, el empuje se reduce a la mitad, 40 kN. La fuerza vertical se mantiene en 80 kN en todo momento. Por lo tanto, cuanto más plano es el arco, más fuerte empuja sus apoyos hacia los lados, y en el límite de un arco plano tipo viga (f → 0) el empuje se vuelve enorme. Por eso un arco muy plano necesita estribos muy resistentes.

Esta es también la razón por la que los arcos apuntados ayudaron a los constructores medievales. Un semicírculo de luz L tiene una flecha fija de L ÷ 2. Un arco apuntado puede hacerse más alto o más bajo a voluntad, y arcos de diferentes luces pueden tener la misma altura. Un arco apuntado alto empuja menos hacia los lados y envía su carga más en vertical.

¿Qué detiene el empuje? Hay cuatro respuestas clásicas:

• Estribos masivos o muros. Las bóvedas de cañón romanas descansaban sobre muros muy gruesos, y el peso del muro inclina la línea de fuerza hacia el suelo.
• Arbotantes. Mampostería adicional añadida por el exterior donde llega el empuje (los constructores góticos desarrollaron esto en el arbotante volado, en el Mundo 3).
• Un tirante. Una barra o viga de tracción que une los dos pies, como la cuerda de un arco. El tirante absorbe el empuje como una tracción, por lo que los cimientos solo sienten la carga vertical. Los tirantes son comunes en arcadas y en los arcos de muchos edificios antiguos.
• Roca. Un arco de piedra en un cañón rocoso puede empujar directamente contra la roca.

Si los apoyos se separan aunque sea un poco (el suelo se asienta, un muro se inclina), el arco baja, el empuje sube y aparecen grietas. Muchos arcos en ruinas fallaron porque sus estribos cedieron, no porque el propio arco fuera demasiado débil.