Poussée

Une arche transmet une charge à ses deux pieds, mais il y a un piège : les pieds sont poussés vers l'extérieur aussi bien que vers le bas. Imagine deux personnes appuyées l'une contre l'autre, les pieds écartés. Le duo ne reste debout que si le sol empêche leurs pieds de glisser vers l'extérieur. C'est pareil pour une arche. La poussée latérale exercée sur chaque pied s'appelle la poussée horizontale, H.

Tu peux la trouver avec un petit calcul d'équilibre. Prends une arche symétrique de portée L et de hauteur f, qui porte une charge w par mètre horizontal. Les deux réactions verticales valent chacune wL ÷ 2. Coupe l'arche au sommet (la couronne) et regarde la moitié gauche. Prends les moments par rapport à la couronne : la réaction verticale wL ÷ 2 agit à une distance horizontale L ÷ 2, la demi-charge wL ÷ 2 agit à L ÷ 4, et la poussée H agit à une hauteur f sous la couronne. L'équilibre donne

H = w · L² ÷ (8 · f)

Un exemple détaillé (avec des nombres choisis). Une arche a une portée de L = 8 m et porte w = 20 kN/m. Avec une hauteur de f = 2 m :

• Chaque pied porte une force verticale wL ÷ 2 = 80 kN.
• La poussée vaut H = 20 × 8² ÷ (8 × 2) = 80 kN.
• La résultante sur chaque pied vaut √(80² + 80²) ≈ 113 kN, dirigée à 45° vers le bas et l'extérieur.

Modifie maintenant seulement la hauteur. Divise-la par deux pour obtenir f = 1 m : la poussée double et atteint 160 kN. Double-la pour obtenir f = 4 m : la poussée est divisée par deux et vaut 40 kN. La force verticale reste toujours de 80 kN. Ainsi, plus l'arche est plate, plus elle pousse fort ses supports sur les côtés, et à la limite d'une arche plate ressemblant à une poutre (f → 0), la poussée devient énorme. C'est pourquoi une arche très plate a besoin de culées très solides.

C'est aussi pour cela que les arcs brisés ont aidé les bâtisseurs du Moyen Âge. Un demi-cercle de portée L a une hauteur fixe de L ÷ 2. Un arc brisé peut être rendu plus haut ou plus bas à volonté, et des arches de portées différentes peuvent avoir la même hauteur. Un arc brisé haut pousse moins sur les côtés et transmet sa charge plus directement vers le bas.

Qu’est-ce qui arrête la poussée ? Il existe quatre réponses classiques :

• Des culées ou des parois massives. Les voûtes en berceau romaines reposaient sur des parois très épaisses, et le poids de la paroi incline la droite de force vers le sol.
• Des contreforts. Une maçonnerie supplémentaire ajoutée à l’extérieur, là où arrive la poussée (les bâtisseurs gothiques ont développé cette idée avec l’arc-boutant, dans le Monde 3).
• Un tirant. Une tige ou une poutre en tension qui relie les deux pieds, comme la corde d’un arc. Le tirant absorbe la poussée en la transformant en traction, si bien que les fondations ne ressentent que la charge verticale. Les tirants sont courants dans les arcades et les arches de nombreux bâtiments anciens.
• La roche. Une arche en pierre, dans une gorge rocheuse, peut pousser directement contre la roche.

Si les supports s’écartent ne serait-ce qu’un peu (le sol se tasse, une paroi s’incline), l’arche s’abaisse, la poussée va vers le haut, et des fissures s’ouvrent. De nombreuses arches en ruine se sont effondrées parce que leurs culées ont cédé, et non parce que l’arche elle-même était trop faible.