स्लाइड और ग्लाइड: स्थानांतरण, ग्लाइड प्रतिबिंब, फ्रिज़

अब तक हर चाल में एक बिंदु स्थिर रहता था (दर्पण रेखा या केंद्र)। अब हम ऐसी दो चालें जोड़ते हैं जो आगे बढ़ती हैं।

• स्थानांतरण में हर बिंदु समान दूरी और समान दिशा में खिसकता है। इसे सदिश (एक लंबाई और एक दिशा) से बताया जाता है। किसी गैर-शून्य सदिश द्वारा किया गया स्थानांतरण किसी भी स्थिर बिंदु के बिना होता है: कोई भी चीज़ अपनी पुरानी जगह पर नहीं रहती। किसी आकृति को खिसकाने से वह न तो घूमती है, न ही पलटती है।
• ग्लाइड प्रतिबिंब में पहले प्रतिबिंब बनाया जाता है और फिर दर्पण रेखा के साथ स्लाइड किया जाता है। समुद्र तट पर चलते हुए किसी व्यक्ति के पैरों के निशान इसका सामान्य उदाहरण हैं: बायाँ निशान और दायाँ निशान एक-दूसरे के दर्पण प्रतिबिंब होते हैं, और दोनों आगे की ओर खिसके हुए भी होते हैं। बाएँ निशान का केंद्र रेखा में प्रतिबिंब बनाकर उसे एक कदम आगे खिसकाओ, तो वह अगले दाएँ निशान पर आ जाता है।

ग्लाइड प्रतिबिंब स्थानांतरण जैसा नहीं होता (आकृति पलट जाती है), और न ही यह साधारण प्रतिबिंब जैसा होता है (आकृति रेखा के साथ आगे बढ़ती है)। स्थानांतरण की तरह, इसमें कोई स्थिर बिंदु नहीं होता।

इन चारों चालों को मिलाकर समतामितीय रूपांतरण कहा जाता है: प्रतिबिंब, घूर्णन, स्थानांतरण और ग्लाइड प्रतिबिंब। “समतामितीय रूपांतरण” का अर्थ है “माप समान”: दूरियाँ और कोण अपरिवर्तित रहते हैं। समतल के कोई अन्य समतामितीय रूपांतरण नहीं हैं। हर ऐसी चाल, जिसमें सभी दूरियाँ समान बनी रहती हैं, इन चार में से एक होती है।

फ्रीज़। एक फ्रीज़ पैटर्न ऐसा पैटर्न है जो एक पट्टी के साथ एक दिशा में हमेशा दोहराता रहता है, जैसे दीवार की किनारी, गमले पर बनी पट्टी या बाड़ के खंभों की कतार। गणितज्ञों ने सिद्ध किया है कि सममिति के प्रकार के अनुसार कुल मिलाकर ठीक 7 फ्रीज़ समूह होते हैं—न इससे ज़्यादा, न कम। हर समूह इन चीज़ों के एक अलग संयोजन से बनता है: पट्टी के साथ स्थानांतरण, एक क्षैतिज दर्पण रेखा (पट्टी के साथ-साथ), ऊर्ध्वाधर दर्पण रेखाएँ, अर्ध-घुमाव और ग्लाइड प्रतिबिंब। उन्हें अलग पहचानने का एक आसान तरीका एक ही आकृति की कतार देखना है:

“हॉप”, “स्टेप”, “जंप”, “साइडल”, “स्पिनिंग हॉप”, “स्पिनिंग साइडल” और “स्पिनिंग जंप” नाम गणितज्ञ जॉन कॉनवे के उस मज़ेदार तरीके से आए हैं, जिसमें उन्होंने पैटर्न की नकल करते समय किसी चलने वाले या नाचने वाले के कदमों का वर्णन किया था। तुम्हें इन्हें याद करने की ज़रूरत नहीं है। ज़रूरी बात यह है कि यह सूची पूरी है: कोई भी किनारी पैटर्न लो, देखो उसमें कौन-कौन सी सममितियाँ हैं, और वह ठीक 7 खानों में से किसी एक में आता है।