Verschiebung und Gleitbewegung: Translation, Gleitreflexion, Friesmuster

Bisher hat jede Bewegung einen Punkt festgehalten (die Spiegelgerade oder den Mittelpunkt). Jetzt kommen zwei Bewegungen dazu, die sich fortbewegen.

• Eine Translation verschiebt jeden Punkt um dieselbe Entfernung in dieselbe Richtung. Sie wird durch einen Vektor beschrieben (eine Länge und eine Richtung). Eine Translation mit einem von null verschiedenen Vektor hat keinen Fixpunkt: Nichts bleibt dort, wo es war. Beim Verschieben wird eine Figur weder gedreht noch gespiegelt.
• Eine Gleitspiegelung ist eine Spiegelung, gefolgt von einer Verschiebung entlang der Spiegelgeraden. Die Fußspuren einer Person, die am Strand entlanggeht, ergeben das typische Bild: Die linke Fußspur und die rechte Fußspur sind Spiegelbilder voneinander, und beide sind außerdem nach vorn verschoben. Spiegle den linken Fußabdruck an der Mittellinie und verschiebe ihn um einen Schritt nach vorn – dann liegt er auf dem nächsten rechten Fußabdruck.

Eine Gleitspiegelung ist nicht dasselbe wie eine Translation (die Figur endet gespiegelt) und auch nicht dasselbe wie eine einfache Spiegelung (die Figur hat sich entlang der Gerade bewegt). Wie eine Translation hat sie keinen Fixpunkt.

Zusammen werden die vier Bewegungen Isometrien der Ebene genannt: Spiegelung, Drehung, Translation und Gleitspiegelung. „Isometrie“ bedeutet „gleiches Maß“: Entfernungen und Winkel bleiben erhalten. Es gibt keine anderen Isometrien der Ebene. Jede Bewegung, bei der alle Entfernungen erhalten bleiben, ist eine dieser vier Bewegungen.

Friese. Ein Friesmuster ist ein Muster, das sich für immer in einer Richtung entlang eines Streifens wiederholt – wie ein Rand an einer Wand, ein Band auf einem Potentiometer oder eine Reihe von Zaunpfosten. Mathematikerinnen und Mathematiker haben bewiesen, dass es bis auf die Art der Symmetrie genau 7 Friesgruppen gibt – nicht mehr und nicht weniger. Jede davon ist eine andere Kombination dieser Bausteine: eine Translation entlang des Streifens, eine horizontale Spiegelgerade (entlang des Streifens), vertikale Spiegelgeraden, halbe Drehungen und Gleitspiegelungen. An einer Reihe desselben Motivs kann man sie leicht unterscheiden:

Die Namen „Hüpfer“, „Schritt“, „Sprung“, „Seitwärtsschritt“, „Drehhüpfer“, „Drehseitwärtsschritt“ und „Drehsprung“ stammen von der spielerischen Art des Mathematikers John Conway, die Schritte zu beschreiben, die ein Spaziergänger oder Tänzer machen würde, um das Muster nachzuahmen. Du musst sie dir nicht merken. Wichtig ist, dass die Liste vollständig ist: Nimm ein beliebiges Bandmuster, finde heraus, welche Symmetrien es hat, und es passt genau in eines der 7 Kästchen.